太极图中的混沌数学以及太极图与《周易》元亨利贞四阶段的兼容
混沌数学
要简单的系统性地描述混沌数学，是一项不可能完成的任务，因此只能简单介绍。
混沌是决定论系统所表现的随机行为的总称。它的根源在于非线性的相互作用。 所谓'决定论系统'是指描述该系统的数学模型是不包含任何随机因素的完全确定的方程。混沌的数学定义有很多种。例如，正的'拓扑熵'定义拓扑混沌;有限长的'转动区间'定义转动混沌等等。这些定义都有严格的数学理论和实际的计算方法。不过，要把某个数学模型或实验现象明白无误地纳入某种混沌定义并不容易。
例如，我们利用一系列的公式，象牛顿一样，可以计算出火星三个月以后的某一天的粗略的具体位置。因为我们把太阳系考虑为一个决定性的系统。这才有牛顿”万有引力“的命名。当然，现在我们悄悄地发现，”万有“这个修饰词不见了。
当爱因斯坦的狭义相对论出现以后，这种计算更趋于精确一些。而且，国外的一些物理学家在没有”奇点“（相对论的数学推导结果）观测证实的前提下，甚至把整个总时空利用惯性思维方式考虑为一个决定性系统。这才有了所谓的奇点大爆炸理论物理假说。当然，反对这个理论假说的声音从未停止。例如我们生活在我们这个总时空的黑洞里或虫洞里，或者宇宙循环论等等，这谈的是物理现实。
是不是人类在不断认识自然的过程中，发现这个自然整体是决定论系统呢？并不是或者说至少现在不能证实。
爱因斯坦提出了这个问题，霍金对此进行了讨论和描述。这事情比通常想像的要大，因为它关系到物理、哲学、玄学、宗教等等，都希望得到一个明确的答案。这实际是一个相对小的范围的一个终极问题。这个小是指我们这个几百亿光年尺度的总时空。
上帝是否掷色子这个西式的物理比喻
爱因斯坦提出来”上帝是否掷色子？“的问题。这已经是对决定论系统的一种反思。一道数学题，不再是唯一的答案，而是是否是几种答案呢？甚至或者是不确定的答案呢？直到他去世，并未给出答案。由于他发现了波粒两重性，而且量子理论与相对论的不可调和，这种思考，对于爱因斯坦来讲，很正常。
几十年以后霍金又回答了这个问题，他的态度是：上帝掷色子，不仅不知道色子是几，而且扔到哪里都不知道了。也就是霍金认为我们这个总时空的决定性系统表现出了随机性的特性。
这是这个问题的最终答案吗？不是！因为暂时物理的天文学界还没有足够证据能够证实这一点或者证伪这一点。这事只能暂时先放下。
混沌数学中的蝴蝶效应
蝴蝶效应，这是非理论性的称呼，因美国气象学家爱德华·罗伦兹（Edward N.Lorenz）在1963年提交的一篇纽约科学院的论文中提出了这个效应。并用”一只海鸥扇动翅膀足以永远改变天气变化“这种比喻来形容这种效应。
之后，这个海鸥变成了蝴蝶。1979年12月，洛伦兹在华盛顿的美国科学促进会的一次讲演中提出：“一只蝴蝶在巴西扇动翅膀，有可能会在美国的德克萨斯引起一场龙卷风”的比喻来形容本来很小的差异，结果却偏离了十万八千里的理论。
中国古文对此的描述是差之毫厘，失之千里。
《礼记·经解》：“《易》曰：‘君子慎始，差若毫厘，缪以千里。’” 《魏书·乐志》：“但气有盈虚，黍有巨细，差之毫厘，失之千里。”
也就是古人2000多年前考虑了初始测量的小小误差带来的不确定性的结果这个混沌数学的问题。
西方人利用夸张这种文学笔法，深得《山海经》的精髓。但此处的比喻夸张，从数学而言并不是非常过分。西方人这种比喻式的夸张描述，有时候也会出现在论文或者论文发布会上，这在中国很少见。
这就是混沌数学形象的比喻。它现在被广泛应用于很多领域。例如天气、股票、经济、语言学等。
要弄明白不可预言性如何可以与确定论相调和，可以来看看一个比整个宇宙次要得多的系统--水龙头滴下的水滴。这是一个确定性系统，原则上流入水龙头中的水的流量是平稳、均匀的， 水流出时发生的情况完全由流体运动定律规定。但一个简单而有效的实验证明，这一显然确定性的系统可以产生不可预言的行为。
混沌数学最初的试验证明就是这个最著名的水滴实验。
这种现象叫'对初始条件的敏感性'，或更非正式地叫 '蝴蝶效应'。
蝴蝶效应的示意图
中国古人如何表达了这种混沌效应
上文提到的差之毫厘失之千里，这是一种对混沌系统的定性化描述。另外，老子说了一句话，道冲或不盈，这也是对混沌系统的描述。
老子这句话被后世儒家给翻译的乱七八糟。就没人考虑这个冲字是天文学的180度。而冲在古文中明显有这个天文学的意思。这句话实际就是说太极在180度本来应该有某些特殊的变化或者说规律，但是，有时候这个规律并不好使。
陈抟太极图现世以后，把这个意思人文性地表达出来，但是后世并没人在意，而且至今无人在意。古人都忙着研究人文呢，没人理会这无聊的数学。
基于这句话这样的解释，老子实际提出来的是一个如爱因斯坦波粒两重性一样产生的思考问题。决定性系统的不确定性？
太极图表达的蝴蝶效应
太极图中的混沌数学
中国古代有一种很奇妙的文化，这种文化方式来源于甲骨文的象，在国画中表现的最突出，也就是留白。在山水画中，经常出现没有一滴水的画面，但是却让你感觉看到了江河湖海。
而太极图这种抽象的、概括性、兼容性的图符表达，留白的地方就更多了。但是，由于抽象，往往想复原其留白的意图，那只能从古人的只言片语中了解了。
上图就是太极图兼容的混沌数学的表达。一个太极图，并不是简简单单的一个图符，它是各种数理思想的抽象概括。
太极的鱼眼如何与另一半的鱼尾相连呢？笔者在以前的连载中用三维的方式画出了其中的两种。
三维的太极图
结合相对论的三维太极
古人在数学并不发达的情况下，试图用对鱼眼的人文表达来解决数学被困在二维平面的问题，而这个问题，过去千年，又有多少人在意其数学表达意图呢？
外国人在意了，结果跨出二维，进入了数学的四维世界，才有了虫洞；才有了混沌数学。
而这个太极图的人文表达，已经将混沌数学的理念定性的表达出来了，仅仅是在留白里，没有画出来，而是说出来了。
把这张带有混沌数学性质的太极图变形表达一下，就是那张混沌数学著名的蝴蝶效应的图。这种变形，很简单。
我们或者可以说这张蝴蝶效应的示意图实际是太极图的三维表达的另外一种变形。
周易的元亨利贞在太极图中的表达
元亨利贞被人文性地表达了2000多年，而数理文化中，是有象、数的。用数学表达，就是如此。
元亨利贞的象数对应
周易象数图解
而周易中的元亨利贞的四个阶段，在具有混沌概念的太极特征图中，很容易表达了。
元就是鱼眼。
亨就是确定性系统可数学性准确描述结果的部分。
利就是整个鱼身。
贞就是利的衰减，准备进入下一个元、亨。
数学性地表达古代这种数理文化中的数的部分，如此而已。
数理文化试图跳出二维的禁锢，中国古人文王、老子，从两千多年前就开始思考，但是后来偏重人文，把这个数理文化中的数的初心渐渐淡忘了。
四维数组表达64卦（周易兼容的数的其中一种数学表达）
古人说的，我们至今理解了多少呢？发展了多少呢？