中考热点问题解题集--折叠背景下的最值问题
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WINTER
《怎样解题》一书的作者匈牙利数学家波利亚说过,掌握数学就意味着要善于解题。做题不在多而在精,题要解得精彩;对待解题的思想方法要对头,要通过做题,深刻理解概念,扎实掌握基本知识,学会运筹帷幄,纵横捭阖,使自己的思维水平不断提升,高屋建瓴;只有这样,面对千变万化、形式各异的题目时,才能应对自如,使一道道难题迎刃而解。也就是说,我们在解题时应力求做到一题多解,多解归一,多题归一,用“动”的观点分析问题,尽可能地拓宽思路,训练自己敏锐的思维,做到“八方联系,浑然一体”,最终达到“漫江碧透,鱼翔浅底”的境界。
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今日研题
【题目编号2021013】如图在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,E、F分别是AD、BC上的动点,且CF=2AE,连接EF,将四边形ABFE沿EF折叠,点A、B的对应点分别为A'、B',连接A'D,求A'D的最小值.
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分析与解
PART-1
通常翻折想隐圆,但本题中折痕EF的两个端点都不定,故考虑在EF上是否能找出一个定点,思考折痕EF在变化过程中是否有不变量或者不变的数量关系,由题目条件知FC=2AE,这个数量关系不变,由矩形对边平行,可连接AC与EF交于点G,不难证明△AEG∽△CFG,于是有CG=2AG,点G是AC上的定点。
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PART-2
折痕EF过定点G,点A为定点,由翻折知A'G=AG(定长),定点+定长,故点A'是以G为圆心A'G为半径的圆上的一点。
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PART-3
至此问题转化为圆外一点与圆上点距离的最值问题,如图,只需根据勾股定理求出AG和DG长,DG-A'G的值也就是A'D的最小值。
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最值问题一般都是在运动变化过程中,解决最值问题关键是能够在变化过程中发现不变的量或关系,如本题中由FC=2AE这个不变的关系,根据矩形的性质发现△AEG∽△CFG,进而得出对角线AC与折痕EF的交点G为定点,突破了问题的关键,接着很容易知道点A'在圆上运动,最终根据“点圆最值”模型即可求出A'D的最小值。
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