中考热点问题解题集--折叠背景下的最值问题

WINTER

《怎样解题》一书的作者匈牙利数学家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。做题不在多而在精，题要解得精彩；对待解题的思想方法要对头，要通过做题，深刻理解概念，扎实掌握基本知识，学会运筹帷幄，纵横捭阖，使自己的思维水平不断提升，高屋建瓴；只有这样，面对千变万化、形式各异的题目时，才能应对自如，使一道道难题迎刃而解。也就是说，我们在解题时应力求做到一题多解，多解归一，多题归一，用“动”的观点分析问题，尽可能地拓宽思路，训练自己敏锐的思维，做到“八方联系，浑然一体”，最终达到“漫江碧透，鱼翔浅底”的境界。

今日研题 

【题目编号2021013】如图在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，E、F分别是AD、BC上的动点，且CF=2AE，连接EF，将四边形ABFE沿EF折叠，点A、B的对应点分别为A'、B'，连接A'D，求A'D的最小值.

分析与解

PART-1

通常翻折想隐圆，但本题中折痕EF的两个端点都不定，故考虑在EF上是否能找出一个定点，思考折痕EF在变化过程中是否有不变量或者不变的数量关系，由题目条件知FC=2AE，这个数量关系不变，由矩形对边平行，可连接AC与EF交于点G，不难证明△AEG∽△CFG，于是有CG=2AG，点G是AC上的定点。

PART-2

折痕EF过定点G，点A为定点，由翻折知A'G=AG（定长），定点+定长，故点A'是以G为圆心A'G为半径的圆上的一点。

PART-3

至此问题转化为圆外一点与圆上点距离的最值问题，如图，只需根据勾股定理求出AG和DG长，DG-A'G的值也就是A'D的最小值。

最值问题一般都是在运动变化过程中，解决最值问题关键是能够在变化过程中发现不变的量或关系，如本题中由FC=2AE这个不变的关系，根据矩形的性质发现△AEG∽△CFG，进而得出对角线AC与折痕EF的交点G为定点，突破了问题的关键，接着很容易知道点A'在圆上运动，最终根据“点圆最值”模型即可求出A'D的最小值。