2021年“八省联考”数学试题分析及备考建议

2021年元月底，广东、江苏、重庆、福建、辽宁、河北、湖南、湖北八个省市组织了新高考模拟考试，我们称之为“八省联考”。随着考试成绩的陆续公布，也掀起了一波八省成绩比较的热潮。

我们再来回顾一下这次的数学试题。整体上来说，试题具有一定的难度，很多题非常灵活，考察了对知识方法等深层次的理解。试卷结构合理、层次分明、题型新颖，很多题都能够让人眼前一亮，如一杯好酒，值得我们去细细品味。从某种程度上来说，这套题为我们后面的复习有非常好的指导性，也指明了未来数学试题的出题方向。

下面我们来逐题分析，个人之见，不当之处，万望海涵！

第1题，考察了集合的相关知识。难点在于对条件的深刻理解。最好的解题思路是借助图形，可以画出韦恩图，可以在数轴上画图表示，从而快速求得结果。集合的运算与韦恩图的结合是集合中相对来说比较难的题，也是考察学生对于相关知识理解是否深刻的最好的题型。在备考复习过程中，集合还是以简单题为主，适当照顾中档题，尤其是中档题型中有关于韦恩图和子集的相关题型。

第2题考察了古典概型。难度不大，只要掌握正确的方法，很快便能得出答案，关键还是对于题意的理解。从这两道题就可以看出，整套题的出题思路还是重在考察学生对于相关知识的理解与掌握，并不是繁琐的计算和技巧。这与新高考的整体设计思路是相一致的。

第3题考察了一元二次方程根的相关知识及命题推理技巧。题目比较简单，也没有什么计算，只要掌握推理的技巧和方法，便可以很快得出答案。虽然新高考没有设置独立章节学习推理的相关知识，但是推理在数学中无处不在。命题在新高考中有所弱化，在这道题中也是有所体现。在备考过程中，建议加强知识的理解和逻辑推理的正确方法，从深层次理解相关知识和方法，这是数学学习的本质要求。从这套题可以看出，题海战术未必会取得很好的效果，单纯的熟练并不是学习的最好方法。

第4题考察了椭圆的相关知识。虽然难度不大，但是整个解题过程却显得非常有趣。从这道题可以看出，我们在备考过程中，还是应该注重基础，基础知识要记牢，理解要深刻，基本技巧方法要熟练掌握。只有扎实的基础，才是我们解题最足的底气之所在。

第5题考察了向量的相关知识。这道题转化成坐标法，解题过程会变得更为简单，当然，普通方法也能够快速得出答案，但是坐标法似乎更有趣一些。向量是新高考的一个重要内容，不管是对向量本身的考察，抑或是向量与平面几何和空间立体几何的结合，向量俨然成了数学中最重要的内容之一，其价值与函数可以相提并论。因此，在备考过程中，要把向量及向量方法作为一个重点，熟练掌握向量这个工具，在某些题型中可以起到化腐朽为神奇的效果。

第6题考察了二项展开的相关内容。二项展开这一块内容在过去并没有得到足够的重视，实际上，这一块可以考察的题型也是很丰富的。在备考过程中，还是以基础为重要抓手，不建议提高难度，也不能轻视。

第7题考察了解析几何的相关知识和方法。可能是我没有找到更好的解题方法，我感觉虽然计算难度不大，但是计算量也不小。这个题非常好，体现了数形结合的数学思想方法，考察了数学运算、逻辑推理等数学核心素养。在备考过程中，数学运算要作为核心内容去复习，尤其是一些典型的计算方法和技巧，更是不容忽视。

第8题考察了函数的构造及导数的相关知识。函数是高考中最重要的内容之一，本题对于函数的考察比较高级，构造函数并不是太难，难点在于构造思路的形成。抓住这一点，才算是真正弄懂这一道题。在备考过程中，函数的构造方法有很多，可以花费一定的时间进行专项突破，题型不算太多，只要掌握每一种构造函数的思路，便可以达到举一反三的学习效果。

以上是单项选择题，在这些选择题中，解题方法和思路的考察是重点，淡化了计算。以下四道题是多项选择题，多项选择题的难度远远大于单选题，需要考察每一个选项是否正确，而且计算量也是直线上升，只有做好多项选择题，才能在数学考试中取得高分。

第9题考察了函数的相关知识，具体的有单调性、奇偶性、导数的几何意义以及零点，对于一个函数的考察比较全面。从这道题可以看出，对于一个陌生的函数，我们要从多角度去认识它、研究它，从而达到对函数的深刻理解。本题对于函数的学习具有很强的指导意义，值得我们反复研究。在备考过程中，我们对于函数的学习，要有系统研究的思想，不能在延续以前就题论题的思路。面对一个函数，我们要研究这个函数所有可以研究的性质以及对函数做一些拓展研究，这是学习函数最好的思路和方法。

第10题考察了复数的相关知识。从这道题可以看出，复数并不是只考察单纯的计算，对于复数的认识，要上升一个档次。总的来说，从本题出发，复数具有数和向量两方面的性质，复数既是一个数（其计算法则类似实数），也与向量有着很多的相似之处，因此，对于复数的学习，不能沿用旧思路，要有所创新，也要重视起来，不能以简单题一概而论。

第11题考察了正方体的平面展开图及空间中两条之间平行和垂直的相关知识。难度不大，主要体现了空间想象能力和证明推理的能力。这道题非常好，对于直观想象核心素养的提高是非常有好处的。空间几何是一个大内容，其中可考察的点非常多，方法也比较灵活。在备考过程中，基础是最重要的，空间想象能力是最核心的，计算是最强大的辅助，只有做好这三个方面，立体几何中的普通问题就难不住大家。

第12题是函数问题，其计算中有大量的三角函数的知识，难度比较大，但是只要细心分析、耐心计算，便能够破解。与第9题有着类似的地方，还是考察对于一个函数更为全面的分析和认知。第9题是函数中的基础部分，而第12题则是函数中比较综合的部分。

第13题是圆台的体积问题。圆台的体积公式并不要求记忆，但是记住以后可以更快的解决这个问题，当然可以将圆台补成圆锥，进而用相似三角形的相关知识予以解决。这道题比较简单，但是将圆台放在球体中，这种出题的思路非常值得我们重视，这是一道非常好的题，简单却又新颖，对于空间结构的认知也是考察的重要内容。在备考构成中，空间几何体的体积和表面积也是一个不容忽视的内容，在删去三视图的情况下，简单的空间组合体或许会是新的出题方向。

第14题实际上考察了两角和与差的正切公式，但是披上了解析几何的外衣，有一定的迷惑性，非常简单，只要正确理解题意，找到题目所考察的真实内容，计算量非常小。这道题非常好，简单有趣。

第15题是一个开放问题，不同于去年高考的那种多个条件选择一个条件的半开放题，这道题是真正意义上的开放题，只要写出符合条件的函数即可，最先想到的自然是构造三角函数中的正弦函数，实际上，完全可以构造正切函数，甚至更复杂一点，可以用一次函数和分段函数构造，总之，符合条件即可。新高考数学题的变化比较大，像这种半开放题基本成了一种固定题型，如何做好半开放题，这或许是我们非常值得研究和讨论的一个问题。在备考中，题目变式是训练这种半开放题型的一个好方法。

第16题考察了正态分布的相关问题，难度并不大，还是重在理解，计算量也很小。正态分布问题在旧高考中没有引起足够的重视，在新高考中，正态分布反而成了一个重要知识点，这不仅仅是数学的变化，更体现了社会经济生活的需要。正态分布在现实生活中具有很强的实用性，因此对于正态分布的考察可能会增多。在备考中，统计概率的难度要上升一点，不能停留在简单的理解层面，要结合现实生活，透过数据看到问题的本质，逐步提高数据分析的能力。

以上四道题是填空题，整体看来，呈现出计算量小，思维灵活多变的特点。

第17题是数列问题。其中第（1）问难度不大，但是第（2）问的推理证明不是很容易。题型也算是常见，但是其中的思维还是比较难，构造数列和构造函数一样，都有一个过程，也需要一定的方法。在备考中，对于数列问题，还是要提高重要性，虽然新高考降低了数列的难度，但是数列在大题中，要说是很容易就做得上，这也是不大可能的，或许在小题中是有简单题的可能性。

第18题本质上是解三角形的问题，也考察了构图能力。这道题做起来不是很容易，尤其是解题的突破口不太容易找得到。解三角形是是平面几何与解析几何的一个交汇处，具有多方面的联结，因此有时候解三角形的题会在一些其他的知识点处卡壳。在备考中，要提高知识的综合运用能力，主动地与其他相关知识相联系。

第19题是概率问题，传统且简单，只要理解到位，基本都可以做得出来，计算量也不是很大。在备考过程中，多注意统计与概率相结合的这一类大题，并且题目要有一定的难度，这样才能在高考中取得好成绩。

第20题是一个阅读理解题。题目中给出了一些新的定义和知识，也举例说明了，对于新概念的理解和运用成了这道题最重要的能力。学习数学，不仅仅是掌握知识，还要学会自主学习，这其中就包括这类题型的考察，所有学生都没有学习过这个知识，在考试中，就是考察学生对于新概念的自学能力，是否能够快速的运用。说一千道一万，数学的学习还是以深刻的理解最为重要。

第21题考察了圆锥曲线的相关知识，具有很大的难度，尤其是第2问。在备考中，提高解题正确率的途径是多思考多总结，对于一些比较常用的解题思路和方法要总结下来，有针对性的复习。

第22题难度较大。三角函数在近年的考察中突然增多，而且难度一般都比较大，破解这类题型，还是要从函数的解题方法入手，增加解题手段，转化和构造一般是这种题型的主旋律，也是很多难题的突破口。

看完了这一套试卷，我真的非常喜欢这套试卷，从试卷中可以看得出来，考察的都是基于数学核心素养的能力，题目新颖，很多题能够让人眼前一亮，也能够从中学多很多东西。对于那些基础好且思维灵活的学生而言，这确实是一套非常称心如意的试卷，但是，对于基础不好或者思维僵化的学生而言，这套题的难度确实很大。如果说这套题有什么缺点的话，我想最大的缺点就是没有照顾到那些数学学习不好的同学以及那些刻苦努力却又循规蹈矩的学生，毕竟数学的学霸比较少，大多数都是普通学生，照顾普通学生对于数学学习的热情还是很有必要的。