在可编程量子处理器上“漫步”
我国科学家设计并构造了62量子比特的可编程超导量子计算原型机“祖冲之号”，这是目前公开报道的世界上最大量子比特数的超导量子体系。基于这一体系优异的可编程性质，研究人员实现并深入研究了二维量子随机行走，这是实现更大规模量子模拟，甚至迈向通用量子计算的一条途径。
相关研究论文于近日在线发表于《科学》(Science)。
“五一”假期刚刚过去，相信不少小伙伴都经历了一段繁忙的旅程。游玩攻略详细而密集，在一个个景点之间高效地穿梭。与精心规划、目的明确的旅行线路相比，还有另一种更自在的度假方式：随意寻一处湖光山色，跟随鸟语花香，漫无目的地徜徉，或泛舟波光潋滟的湖面之上，从流飘荡，任意东西。这种散漫悠闲的方式看似效率更低，但也自有其妙处。特别是，当我们身处一片未知的天地中时，这种随意的漫步反而能让我们更快深入其中，得遇美景。
“无规行走”（无规律的漫步）或叫“随机行走”，不仅对于游玩有指导意义，它还是主宰大自然运行的一种基本规律，而且在生命现象、人类行为中也到处有其身影。
在我们井然有序的生活中，随机无处不在。一朵玫瑰花的芳香弥散充满一间房屋，一滴牛奶缓缓扩散融进整杯咖啡，依靠的都是一种随机行走——布朗运动。人们很早就意识到了这种运动形式，远在两千多年前，古罗马诗人、哲学家卢克莱修就在《物性论》中有了“布朗运动”的想法，并以此来推测“原子”的存在。1827年，苏格兰植物学家罗伯特·布朗（Robert Brown）描述了他的发现：悬浮在水溶液中的花粉颗粒永不停息地进行着随机运动。这种现象并非由他最早发现，但他被认为是第一个详细研究这种现象的人，这种运动因此被称作“布朗运动”。
布朗运动是原子分子热运动的一种宏观表现，微观的液体分子永不停息地进行着无规则运动，并不断地随机撞击悬浮在溶液中的花粉颗粒，在某一瞬间，由于在不同方向上，花粉颗粒受到的力并不平衡，导致了花粉的运动。花粉颗粒的无规运动是液体分子无规热运动的间接反映。1905年、1906年，爱因斯坦和斯莫鲁霍夫斯基（Marian Smoluchowski）分别对布朗运动进行了深刻的分析，建立起布朗运动的统计模型，布朗运动成为了物理学中的一个重要概念。
不止微粒在溶液中的扩散、气味在空气中的传播，甚至在生物的生存策略选择上，随机行走也无处不在。人们发现，在食物稀缺的环境中，浮游生物、鱼类、食草动物、鸟类以及灵长动物的觅食和迁徙路线同样是不能被预测的，具有随机特征。这种不同于布朗运动的随机行为被称作“莱维飞行”，当处在资源匮乏的不可知环境中时，它能够给觅食者提供更多的机会。大自然丰富多彩、充满了神奇，生物表现出的数学智慧令人惊叹！
鲨鱼（左图） 和 鸟类（右图）
食物匮乏时的觅食路线符合莱维飞行模型
原子分子的布朗运动、生命的莱维飞行，都属于随机行走。随机行走作为一种典型的数学模型，人们研究越深，便越认识到其博大精深、应用广泛。不同形式的随机行走模型吸引着数学家、物理学家的注意，随机行走所发生的空间也不再限于日常的空间，而是包括曲面、高维矢量空间、黎曼流形、图、群等。其应用已经渗入物理学、计算机科学、算法设计、化学、生物学、工程学、生态学、心理学、经济学和社会学等领域。
上世纪90年代，人们提出了一种更为神奇的随机行走——量子行走（quantum walk）。量子行走利用了量子叠加、量子干涉等量子特征，是经典随机行走在量子力学中的拓展。
无论花粉颗粒，还是鱼、鸟，这些“漫步者”（walker）都是经典物体，即它们可以看作是空间中一个位置确定的点，其行为由经典力学来描述。因此，它们的随机行走模式也被称作“经典随机行走”。如果漫步者是量子物体，例如光子、固体材料中的激发元等，它们所展现出的“量子行走”会有什么不同吗？
量子物体具有量子叠加特性，会发生量子干涉现象，这是量子世界和经典世界的一个本质区别。量子叠加使得量子行走与经典随机行走非常不同！为了更好地看清这一点，让我们从最简单的一种随机行走开始。
想象一个在一维链上跳跃的小球。在初始时刻，它位于坐标原点，如上图所示。每过一个单位时间，它就会行走一个单位长度。但其行进方向是完全随机的，例如，可以借助于抛掷硬币，如果硬币正面朝上，则小球向右行进一格，如果硬币反面朝上，则小球向左行进。如果我们的硬币是均匀的，可想而知，在每一步，小球向左向右的概率是相等的。这就是一个最简单的随机行走模型——等概率、固定步长的一维离散时间随机行走。但就是这样一个简单的数学模型，却把握住了很多问题的本质。
聪明的读者，相信你稍作思考就能想到这个一维模型的一些典型特征。例如，它和高尔顿板游戏等价，经过n步行走，小球可能处在的位置满足高斯型概率分布。虽然小球出现在原点的概率最大，但离开原点距离的平方的期望值<x2>等于步数n，即n步之后，随机行走所涉及的区域半径为~√n，比目标明确的直线行走所触及的区域~n要小得多。
行走n步的一维随机行走和n层高尔顿板等价。在高尔顿板中，小球碰到钉子（黑点）后，以等概率选择左右路径继续下落。上图是5层的高尔顿板；下表是经过5步之后，小球处于各个位置的概率。
如果把经典小球换成量子“小球”，情况就变得很不同了。量子世界里的“小球”具有叠加、干涉等诡异的性质。起初处于原点的量子小球按照量子动力学的规律随时间演化，它可以形成“分身”，同时往左边和右边渗透。这是量子世界中叠加性质的体现。
而且，当“分身”相遇时，它们之间还会发生干涉。在量子世界中，每个“分身”处在某个位置的概率由一个被称作“概率幅”的复数c来决定，概率幅的模平方
即是这个“分身”出现在此处的概率。而小球出现在此处的概率并不是简单地把各个“分身”的概率相加，而是概率幅相加，然后再取模平方。我们都知道，
奇特的干涉项出现了，正是它带来了各种新奇的现象和应用。在我们的一维量子行走中，由于“分身”彼此间的干涉效应，量子小球最终的位置分布与经典情况大为不同，不再是高斯型分布，而是会呈现出双峰型的分布。
初始情况对称的情况下，
100步量子行走后的位置概率分布
当有多个漫步者时，它们之间的叠加和干涉会形成更加复杂的行为。此外，漫步者在种类、相互作用方式、行走路径上的不同，也会导致表现迥异的量子行走行为。
干涉可以相长、可以相消，通过精心设计体系的结构，我们可以对干涉的结果进行操控，让其相消相长充分为我所用，以实现对物理现象的有效模拟以及高效执行特定的计算任务。例如，利用图（graph）上的量子行走，我们可以实现比经典算法快得多的量子搜索算法。对于一个图结构，例如下图，我们的任务是寻找一个目标节点。初始时刻，漫步者可以位于任意一个节点上或等权地位于每个节点，通过操纵其在图上的“行走”行为，经过一定的“步数”，经历了各种传播路径的漫步者的各个“分身”，它们的相消相长叠加，使得漫步者最终出现在目标节点上。通过测量漫步者最终的位置，我们完成了图上的搜索任务。理论证明，利用量子行走可以实现量子加速，设计出比任何经典算法都要优异的量子算法。
量子行走已经成为了开发量子算法的一个有力工具，另外，它还可以用来模拟多体物理体系的量子行为。因其普适性，量子行走吸引了物理学界越来越多的关注。量子行走研究的一个里程碑进展发生在2009年和2013年，安德鲁·蔡尔兹（Andrew Childs）等人理论证明了，利用连续时间量子行走可以实现通用量子计算。他们指出，编码在量子比特上的单个漫步者或者具有相互作用的多个量子漫步者（可以无需量子比特编码）可以实现通用量子计算，并很可能可以实现具有指数级加速的量子算法。
人们还知道，基于量子行走的算法要实现相对于经典算法的量子加速，二维构型是必需的；而要迈向通用量子计算，可编程即在量子行走的每步可以方便地对体系的构型进行操控，是基本要求。因此，实现易编程的2维量子行走成了物理学家面对的一项意义重大但极富挑战性的任务。
超导量子计算是一种固态量子计算方案，工艺上具有良好的可扩展性，因而备受关注，被普遍认为是最有可能率先实现实用化量子计算的方案之一。但在超导量子体系中要实现对每一个量子比特极高精度的相干操纵，是一件极其困难的事情。
中国科大潘建伟、朱晓波团队一直以来致力于超导量子计算的研究和攻关，取得了一系列引人瞩目的前沿研究成果。2019年，研究团队开创性地将超导量子比特应用到量子随机行走的研究中。研究团队设计和加工了高品质的12比特一维链超导比特处理器，在其上实现了一维的连续时间量子行走。相关研究论文发表在《科学》（Science）上。
基于之前的积累以及技术和理论的进一步创新，最近研究团队又成功设计并加工出62量子比特的超导量子处理器。基于这一体系的优异性能，研究人员可以对格点间隧穿幅以及晶格构型精准地调控，从而实现了方便的编程，最终实现了2维“量子行走”，并对其性质进行了深入研究。题目为“Quantum walks on a programmable two-dimensional 62-qubit superconducting processor”（可编程二维62量子比特超导处理器上的量子行走）的研究论文于5月7日在线发表在《科学》上。审稿人称“在大尺度晶格上首次实现了量子行走的实验观测……这是一项清晰而令人赞叹的实验”。
研究团队设计、构建了一个8×8的超导量子比特阵列。上图是这一量子处理器结构的示意图，量子处理器约3厘米见方，方形的构型对于实现量子算法是有益的。图中每个橘红色 “
” 代表了一个量子比特，共有相互耦合的62个高品质的量子比特（因为有2个量子比特有损坏，不能实现功能）。这是目前公开报道的世界上最大量子比特数的超导量子体系，之前Google实现“量子优越性”的悬铃木有53个量子比特。
这些量子比特可以看做是一种人工原子，正像固体材料中的天然原子晶格可以被激发而产生声子一样，这些量子比特被激发也会生成出一种准粒子，这就是我们下面故事中的主角，即量子行走中的“漫步者”。这一准粒子的行为和声子类似，都是玻色子，符合玻色子的统计规律。
声音在固体材料中传播，其传播行为和晶格的结构、格点间的耦合等性质息息相关。同样的，我们漫步者的行走行为也与量子比特阵列的构型、耦合等性质息息相关。通过精微的实验技术，研究人员对体系的各种参数进行巧妙的调节，使量子比特阵列表现出Bose-Hubbard模型的行为。Bose-Hubbard模型可以很好地用来研究多体物理系统，有着广阔的应用前景和研究价值，研究人员要研究在这一模型下漫步者的行为。
“上帝说要有光，于是便有了光”，研究人员需要“漫步者”，于是就激发出了“漫步者”。然后，通过调节量子比特的频率一致，制备出所需要的演化“环境”——二维的干涉网络，让漫步者在这样的环境下开启它“自由自在”的旅程。
（动图1） 1个漫步者的情况
（动图2） 2个漫步者的情况
首先，在初始时刻，研究人员在量子比特阵列的左上顶角处创造出1个漫步者（“动图1”左面，红色方块所示）。然后，对漫步者经过一段时间演化后在阵列上的分布情况进行了观测，漫步者逐渐蔓延到整个阵列上的过程如“动图1”所示。同样地，研究人员研究了2个漫步者的情况，这两个漫步者在初始时刻分别位于两个相对的顶角处。漫步者逐渐蔓延到整个阵列上的过程如“动图2”所示。
无论1个还是2个漫步者的情况，实验结果都和同样条件下的数值模拟结果（动图的右面所示）精确一致，这证实了这一超导量子比特体系性能的优异以及对其操纵的精确。
在上面的例子中，二维量子比特体系就像是一座空旷的“花园”，只有一片开阔的草坪。漫步者可以在整个花园里的每一处逗留。
在这一工作中，研究人员可以精确地调控每个量子比特的频率。通过量子比特频率的调节，使一部分量子比特失谐，可以来限定漫步者的活动区域。就这样，研究人员在这个“花园”中修筑出相互交叉的小径（还可以对小径的“路况”进行调节设计），漫步者只能在小径上行走，不能去踩踏其他区域的“花花草草”。
花园中小径的不同交叉会见证不同的相遇，不同的相遇将演绎出不同的故事。在二维量子比特体系中，漫步者行走路线的不同交织形式具有不同的图结构，会带来不同表现的干涉结果，进一步可以用以实现不同的功能。这对于基于量子行走的量子计算是至关紧要的。
研究人员构造了几种不同的路径结构，并在其上对单个漫步者和两个漫步者的量子行走行为进行了详细研究，特别是深入理解了干涉在其中是如何起作用的。在只有单个漫步者的量子行走中，单个漫步者可以在两条连接的演化路径之间形成干涉。当有两个漫步者时，只有当两条路径之间连接才能形成干涉，并且两个漫步者形成的干涉条纹与任意一个漫步者形成的干涉条纹以及它们的和均不相同，证明了两个漫步者之间也存在相互作用。
单个漫步者的量子行走 （A，B）两种不同的路径结构，初始时，在红色S处，漫步者被激发出；（C，D）对于两种路径结构，经过一定时间演化后，在终点D点处，不同“路况”下的粒子数分布情况。对于有两条相互连接的路径的情况, 在终点显示出明显的干涉条纹，而当一条路径被切断, 无法形成两条路径的干涉时, 就无法显示出干涉。
（动图3）对于上图中（A）所示情况，漫步者的量子行走过程演示
两个漫步者的量子行走 （A，C，E，G）几种不同的路径结构，初始时，在红色处，漫步者被激发出；（B，D，F，H）对于每种路径结构，经过一定时间演化后，在终点D点处，不同“路况”下的粒子数分布情况。注意到，只有当两条演化路径存在近端的连接时才能产生干涉，并且两个漫步者形成的干涉条纹与任意一个漫步者的干涉条纹及它们的求和均不相同，证明了漫步者之间也存在相互作用。
（动图4）对于上图中（A）所示情况，漫步者的量子行走过程演示
中国科研团队国际上首次在固态量子计算系统中实验演示了可编程的二维量子行走，以及通过精确的参数调控，实现了不同路径结构上的量子行走。相比于光子等系统，超导量子比特系统具有更好的参数可调性，通过调控比特频率、相邻格点间的隧穿幅和相位，以及体系的构型等因素，可以满足不同的实验和应用需求。虽然离实际应用还有一段距离，但这一工作强有力地彰显了超导量子比特处理器的巨大潜力和应用前景。
在超导量子处理器上成功演示可编程量子行走，这是一个重要的里程碑。它为进行更复杂量子多体模拟提供了坚实基础；未来，基于这一原理，可进一步实现量子搜索算法，甚至通用量子计算。
感谢论文第一作者龚明老师对此科普文章的指导和帮助
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