均值方差模型

今天，我们来讲一讲“均值方差模型”。

介绍模型之前，先讲一下模型诞生背后的故事。

背后的故事

从前，有一个年轻人，叫哈里·马科维兹（Harry Markowitz），彼时他正在芝加哥大学攻读经济学博士学位，一次偶然的机会他在办公室门外等待见导师、准备讨论博士论文时遇到了一个股票经纪人，和股票经纪人的一番交谈使他的研究方向转向了证券市场。导师鼓励他对这个领域进行研究，并给他推荐了当时著名的经济学家约翰·威廉姆斯（John Williams）最出名的一本书：《投资价值理论》（The Theory of Investment Value) 。

威廉姆斯认为，证券的价格反映了其“内在价值”，而证券的价值就是其未来股息的折现价格。但马科维兹很快就发现这个理论缺少了对“风险”的分析：投资者固然要最大化预期折现收益，同时也应该考虑到收益的方差（variance）是一个不好的东西，投资者在决策过程中应该同时考虑这两个方面，并且应该这样构建一个投资组合：在“预期收益”和“收益的方差”之间做权衡取舍（trade-off）。

（有点复杂，但这句话很重要...)

于是在1952年，25岁的马科维兹在The Journal of Finance这本顶级金融学期刊上发表了一篇论文，叫《证券投资组合选择》（Portfolio Selection）。

这篇论文当时并没有引起很大的轰动，因为在14页的篇幅中有差不多10页都是一些数学推导证明和涂鸦，类似这样的图片你们可以感受一下:

但马科维兹的研究后来被证明是震撼性的，《证券投资选择》常常被用来和牛顿的《自然哲学的数学原理》相比较。就像是证明“不要把鸡蛋全放在一个篮子里”一样，很难把最简单的常识用数学优雅的证明出来。同时，马科维兹的理论是超前的，随着技术的发展，他的理论终于被证券市场验证，在文章发表四十年后的1990年，马科维兹因为“证券投资选择理论”而获得了诺贝尔经济学奖。

现代投资组合理论

现代投资组合理论（Modern Portfolio Theory, MPT）就是马科维兹在1952年发表的这篇文章中首次提出的。

假设目前市场上有ABCD四种资产（比如股票、债券、期货、现金等等），它们有各自的收益率，也有各自的风险，那么投资者是应该只持有一种资产，比如资产A，还是应该持有一个投资组合包含一种以上的资产？如果是这样，投资组合中应该包含哪几种资产，各种资产又应该如何配比，才能使得的总的风险最小，但是收益最大呢？这是现代投资组合理论研究的中心问题。

这个理论包括两个重要内容：均值-方差分析和有效前沿。

均值--方差分析

现代投资组合理论用均值和方差来刻画收益和风险这两个关键因素。均值，指的是投资组合的期望收益率，它是单只证券的期望收益率的加权平均，权重为相应的投资比例。而方差，则是指投资组合的收益率的方差，它衡量了实际收益率和均值的背离，刻画了投资组合的风险。用公式表示就是：

协方差、相关系数又是什么？我们后面会解释。

举个例子？

假设目前市场上有四种资产ABCD，根据它们在过去一年中的表现，我们计算得到它们的年化收益率、标准差分别如下。我们打算将它们等权重持有，也就是每种资产占投资组合的25%：

那么我们可以得到：投资组合的均值=投资组合的期望收益率=

(1% x 25%) + (5% x 25%) + (10% x 25%) + (15% x 25%) = 7.75%

计算投资组合的方差需要知道所有资产两两之间的协方差，协方差是衡量两种资产的收益率变动情况的，简单来说，是衡量两种资产的收益率是同向变化还是反向变化的，变化的程度如何。如果资产A收益率上涨的时候资产B的收益率也同时上涨，那么二者就是同向变化的，协方差为正数；如果资产A收益率上涨的时候资产B的收益率刚好下跌，那么二者就是反向变化的，协方差为负数。协方差的数值越大，二者同向（或者反向）变化的程度越大。

而相关系数就是协方差除以资产的标准差，所以也可以看成是一种标准化后的特殊的协方差。

协方差有什么作用？

作用相当大！

马科维兹发现，证券投资组合的方差不仅取决于单个资产的方差，而且还取决于各种资产之间的协方差，并且随着组合中证券数目的增加，在决定组合方差时，协方差的作用越来越大，而单个资产方差的作用越来越小，也就是说，协方差几乎成了组合方差的决定性因素！

通过公式我们也可以看出来，当协方差为负数时，是可以减小组合的方差的！

在这一点上，马科维兹有两个重大贡献：

1、1+1不等于2

马科维兹提出，投资组合的风险并不是单纯的将各种资产的风险相加，而是要考虑它们之间的相关性，也就是说在这种情况下1+1并不等于2：

决定投资组合的风险并不是资产本身的风险，而是它们之间的相互影响！而通过操纵资产间的相关性我们是可以操纵投资组合的风险，从而达到一个我们想要的收益--风险组合。

2、风险分散化

风险分散化原理被认为是现代金融学唯一的“免费午餐”（free lunch），将多项资产组合到一起，可以对冲掉部分风险而不降低平均的预期收益率。

回到我们例子中投资组合的方差的计算，假设各种资产之间的相关系数如下：

我们可以计算得到投资组合的方差=0.0016，也就是组合风险（标准差）为4.05%。

可以看到，将ABCD等权重持有在投资组合中，我们得到组合的收益率比单独持有资产A或者单独持有资产B的收益更高，风险更小！这就是组合投资的厉害之处！

那么现在问题来了，将每种资产等权重持有，是最好的选择吗？假如我想知道，在每个给定的收益水平，风险最小的投资组合是什么？我们该怎么利用均值和方差来计算呢？

有效前沿

马科维茨告诉你，你可以在有效前沿（Efficient Frontier）上找到这样的投资组合。

他是这么做的——解下面这个二次规划：

这个二次规划翻译过来，就是给定组合期望收益率，如何使组合方差最小。求解之后可以得到下面这个图：

图的横轴代表了风险，纵轴表示收益。图中每一个橙色的点代表一个投资组合，每一个组合对应了一个收益和风险。而在每一个收益水平下，风险最小的组合在哪里呢？你可以看到，正是位于蓝色这条边界上。蓝色这条线上的所有点，都是在同一个收益水平下，风险最小的组合（因为，没有比它们更靠左的点了）。

但蓝色边界上所有的点都是最好的组合吗？显然不是。我们可以看AB这两点。B点和A点相比，收益更高（更靠上），风险更小（更靠左），所以B点优于A点。

而蓝色边界上最靠左的点是B点，最靠上的点是C点，所以，BC这条边界上的点，是最优的解。给定每一个收益水平，线上的点对应的风险最小，而给定每一个风险水平，线上的点对应的收益最大。因此，马科维茨称BC这一段为有效前沿。

所以回到我们的例子，假设目前市场上有ABCD四种资产，我们知道它们的年化收益、年化波动率、相关系数，我们要如何持有它们，才能使得我们的投资组合的收益最大，风险最小呢？马科维茨告诉我们，可以用均值方差分析，找到有效前沿，那么有效前沿上的点就是最佳的组合。

我们用Atree智能资产配置系统模拟出来这个有效前沿，如下图：

黄色的粗线表示了有效前沿，而ABCD这四个点则代表了ABCD这四种资产本身的收益和风险水平。我们看到，相比单独持有一种资产，持有投资组合的收益更高，因为对于A点来说，它的正上方、位于有效前沿上的E点代表了相同风险水平下最高的收益；对于B点，它的正上方、位于有效前沿上的F点代表了相同风险水平下的最高收益；同样对于C点，它的正上方、位于有效前沿上的G点代表了相同风险水平下的最高收益（唯独D点比较例外，在风险水平为10%的情况下，单独持有资产D的收益最高）。

回到我们前面假设的等权重持有四种资产的组合的例子，这样的配置真的是最好的吗？答案是：非也。还记得等权重持有四种资产的组合收益和风险分别是7.75%和4.05%，对应的是图上的N点，然而我们可以在有效前沿上找到更好的一点M，在相同的风险水平（4.05%）的情况下，它的收益是9.34%（>7.75%）。那么组合M的配置是怎样的呢？我们可以得到A：0%，B：47.28%，C：18.64%，D：34.07%。

所以，通过资产的均值方差分析，我们可以找到一条有效前沿，在这条有效前沿上的点就是最佳的投资组合，这些投资组合有这样的特点：给定组合收益水平，组合的风险最小；给定组合的风险水平，组合的收益最大，这就是均值方差模型的内容。

来源： 智道智科