【专题提升】直角三角形存在性问题

我们介绍了关于等腰三角形存在性问题的一些简单方法,
本文继续了解关于直角三角形存在性的一点处理方法.
01
问题与方法

【问题描述】

如图,在平面直角坐标系中,点A坐标为(1,1),点B坐标为(5,3),在x轴上找一点C使得△ABC是直角三角形,求点C坐标.

【几何法】两线一圆得坐标

(1)若∠A为直角,过点A作AB的垂线,与x轴的交点即为所求点C;

(2)若∠B为直角,过点B作AB的垂线,与x轴的交点即为所求点C;

(3)若∠C为直角,以AB为直径作圆,与x轴的交点即为所求点C.(直径所对的圆周角为直角)

重点还是如何求得点坐标,C1、C2求法相同,以C2为例:

【构造三垂直】

C3、C4求法相同,以C3为例:

构造三垂直步骤:

第一步:过直角顶点作一条水平或竖直的直线;

第二步:过另外两端点向该直线作垂线,即可得三垂直相似.

【代数法】表示线段构勾股

还剩下C1待求,不妨来求下C1:

【解析法】

还有个需要用到一个教材上并没有出现但是大家都知道的算法:

互相垂直的两直线斜率之积为-1.

考虑到直线AC1与AB互相垂直,k1k2=-1,

可得:kAC=-2,

又直线AC1过点A(1,1),

可得解析式为:y=-2x+3,

所以与x轴交点坐标为(1.5,0),

即C1坐标为(1.5,0).

确实很简便,但问题是这个公式出现在高中的教材上~

方法小结

几何法:

(1)两线一圆作出点;

(2)构造三垂直相似,利用对应边成比例求线段,必要时可设未知数.

代数法:

(1)表示点A、B、C坐标;

(2)表示线段AB、AC、BC;

(3)分类讨论①AB²+AC²=BC²、②AB²+BC²=AC²、③AC²+BC²=AB²;

(4)代入列方程,求解.

02
从等腰直角说起

再特殊一些,如果问题变为等腰直角三角形存在性,则同样可采取上述方法,只不过三垂直得到的不是相似,而是全等.

2019兰州中考删减

【等腰直角存在性——三垂直构造全等】

通过对下面数学模型的研究学习,解决问题.

【模型呈现】

如图,在Rt△ABC,∠ACB=90°,将斜边AB绕点A顺时针旋转90°得到AD,过点D作DE⊥AC于点E,可以推理得到△ABC≌△DAE,进而得到AC=DE,BC=AE.

我们把这个数学模型成为“K型”.

推理过程如下:

【模型迁移】

二次函数y=ax²+bx+2的图像交x轴于点A(-1,0),B(4,0)两点,交y轴于点C.动点M从点A出发,以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动,过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N,交抛物线于点D,连接AC,设运动的时间为t秒.

(1)求二次函数y=ax²+bx+2的表达式;

(2)在直线MN上存在一点P,当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时,求此时点D的坐标.

2017本溪中考

【直角顶点已知or未知】

如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=1/2x²+bx+c与x轴交于A、B两点,点B(3,0),经过点A的直线AC与抛物线的另一交点为C(4,5/2),与y轴交点为D,点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点(不与点A、C重合).

(1)求该抛物线的解析式.

(2)点Q在抛物线的对称轴上运动,当△OPQ是以OP为直角边的等腰直角三角形时,请直接写出符合条件的点P的坐标.

【小结】对于构造三垂直来说,直角顶点已知的和直角顶点的未知的完全就是两个题目!

也许能画出大概位置,但如何能画出所有情况,才是问题的关键.

其实只要再明确一点,构造出三垂直后,表示出一组对应边,根据相等关系列方程求解即可.

2019阜新中考

【对未知直角顶点的分析】

如图,抛物线y=ax²+bx+2交x轴于点A(-3,0)和点B(1,0),交y轴于点C.

(1)求这个抛物线的函数表达式.

(2)点D的坐标为(-1,0),点P为第二象限内抛物线上的一个动点,求四边形ADCP面积的最大值.

(3)点M为抛物线对称轴上的点,问:在抛物线上是否存在点N,使△MNO为等腰直角三角形,且∠MNO为直角?若存在,请直接写出点N的坐标;若不存在,请说明理由.

【小结】无论直角顶点确定与否,事实上,所有的情况都可以归结为同一个方程:NE=FM.故只需在用点坐标表示线段时加上绝对值,便可计算出可能存在的其他情况.

03
一般直角三角形的处理

一般直角三角形存在性,同样构造三垂直,区别于等腰直角构造的三垂直全等,没了等腰的条件只能得到三垂直相似.

而题型的变化在于动点或许在某条直线上,也可能在抛物线上等.

2018安顺中考

【对称轴上寻动点】

如图,已知抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=-1,且抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,其中A(1,0),C(0,3).

(1)若直线y=mx+n经过B、C两点,求直线BC和抛物线的解析式;

(2)在抛物线的对称轴x=-1上找一点M,使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小,求出点M的坐标;

(3)设点P为抛物线的对称轴x=-1上的一个动点,求使△BPC为直角三角形的点P的坐标.

2018怀化中考

【抛物线上寻动点】

如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax²+2x+c与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C,点D是该抛物线的顶点.

(1)求抛物线的解析式和直线AC的解析式;

(2)请在y轴上找一点M,使△BDM的周长最小,求出点M的坐标;

(3)试探究:在拋物线上是否存在点P,使以点A,P,C为顶点,AC为直角边的三角形是直角三角形?若存在,请求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.

2019鄂尔多斯中考

【动点还可能在……】

如图,抛物线y=ax²+bx-2(a≠0)与x轴交于A(-3,0),B(1,0)两点,与y轴交于点C,直线y=-x与该抛物线交于E,F两点.

(1)求抛物线的解析式.

(2)P是直线EF下方抛物线上的一个动点,作PH⊥EF于点H,求PH的最大值.

(3)以点C为圆心,1为半径作圆,圆C上是否存在点M,使得△BCM是以CM为直角边的直角三角形?若存在,直接写出M点坐标;若不存在,说明理由.

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