从洛伦兹变换得到时间膨胀方程，狭义相对论最深刻的理解
1905年9月26日，爱因斯坦的革命性论文《关于运动物体的电动力学 》（On the Electrodynamics of Moving Bodies）发表在科学杂志《物理学年鉴》上。在这论文中，爱因斯坦描述了他的狭义相对论，该理论为空间和时间的概念提供了全新的定义。狭义相对论使电磁理论（更具体地说，麦克斯韦方程组）与力学相一致。
图1：年轻时的爱因斯坦和他的狭义相对论论文。
狭义相对论的两个假设
狭义相对论基于两个基本假设：
相对论原理：相同的物理定律适用于所有的惯性参照系（不经历加速度的参照系）。
光速的普遍性：真空中的光速，通常用c表示，对于所有的惯性观测者来说都是相同的，它不依赖于光源的运动。
第一个假设，即相对论原理，在1632年由意大利天文学家、物理学家和工程师伽利略在他的《关于两个主要系统的讨论》（ Dialogue Concerning the Two Chief World Systems）一书中首次提出。第二个假设，即光速的普遍性，是爱因斯坦对相对论的重大贡献。
图2：伽利略和他的书，他阐述了相对论的原理。
同时性的相对性
假设有两个事件发生在两个不同的地点。同时性的相对性意味着，如果这些事件在一个给定的参考系中同时发生，它们可能不会在不同的参考系中同时发生。
假设有一节火车，沿直线匀速行驶。在汽车的中心，发出一道光，光线以速度c各向同性扩散。由于光源与汽车两端的距离相等，车内的观察者会同时探测到到达汽车前后端的光。然而，对于汽车外的观察者来说，这两个事件（光到达汽车的前端和后端）不是同时发生的。
图3：同时性相对性的说明
这是因为，当光扩散时，火车车厢向前移动，因此，从旁观者的角度来看，光向火车尾端移动的距离更短了。因为对于两个观测者来说，光速都等于c（根据第二个相对论假设），外部观测者会察觉第一个事件发生在第二个事件之前（注意，观测者必须校正信号到达他们的时间）。
为什么运动的时钟会慢下来
现在让我们来理解为什么一个运动系统中的时钟变慢是相对论的两个假设的直接结果。
假设有两个镜子A和B在一节以v的速度运动的车厢里，假设一个来自镜子A的光击中了镜子B，然后又回到了镜子A。如果两个镜子之间的距离是L，根据车里的观察者，光沿着这条路径走的时间是：
式1：光从镜子A到镜子B再回来的时间。
图4：时间膨胀示意图
在车外观察者的参照系中，反弹的光“走”出一个更长的路径（上图中三角形的两条斜边）。因为，根据相对论第二假设，对于所有的惯性观察者来说，光速是恒定的，所以从外部观察者的角度来看，光在两面镜子之间反射的时间更长。这意味着，在外部观察者的参照系中，内部的时钟似乎运行得更慢。那么，光在两个镜子之间反射的时间为：
式2：光从镜子A到镜子B，再回来的时间，由列车外的观察者测量。
为了计算距离D，我们应用勾股定理：
式3：图4中的距离D。
利用后三个方程得到：
式4：由于上面的分母小于1，列车外观察者测量到的时间间隔（Δt’）比列车内观察者测量到的时间间隔（Δt）长。
因为分母小于1，这个方程表明，列车外的观察者（相对于镜子运动）测量的时间间隔（Δt’）比列车内的观察者（相对于镜子静止）测量的时间间隔（Δt）要长。
一个关于运动使时间变慢的有趣例子是宇宙射线中的介子到达地球。介子产生于大气顶部约10公里处。介子的自发衰变寿命平均为2.2 μs（这是介子在自己的参照系中的寿命）。由于时间膨胀，介子以非常接近光速的速度在我们的参照系（地球）中“生存”了更长的时间，而这更长的时间足以让它们到达地球。
图5：介子（在宇宙射线中）移动的速度非常接近光速，在我们的参考系中存活的时间要长得多。这段时间足以让它们到达地球。
洛伦兹变换
假设事件E在某些惯性系统S（假设为静止的参考系）中的坐标为(t, x, y, z)。考虑另一个惯性系统S '（假设为匀速运动的参考系），其中同样的事件有坐标(t '， x '， y '， z ')。两个坐标之间的关系称为洛伦兹变换，它由以下公式给出：
式5：洛伦兹变换。
图6：两个惯性参照系以速度v相对运动。
现在让我们看看上面的结果是如何从洛伦兹变换得到的。
图7：爱因斯坦狭义相对论论文中的洛伦兹变换
时空几何学
狭义相对论中的时空几何用时空图或闵可夫斯基图来表示。时空图是一个空间和一个时间的二维图。如下所示，这些图可以定性地理解我们之前讨论过的两个现象，即时间膨胀和同时性的相对性。
两个重要的概念用时空图表示：
一个事件是一个由点(t, x)表示的瞬时发生。
世界线是代表一个物体在时间中移动的历史位置的线。
一个时空图可以用来表示一个洛伦兹变换，它涉及两个惯性参照系。如果一个观察者在(t, x) =(0,0)时开始沿x轴移动，观测者的新时间轴t '和新空间轴x '相对于原轴的倾角小于π/4（见下图）。在移动观察者的参照系中，同时发生的事件在平行于倾斜的x’轴的直线上发生。
闵可夫斯基图中同时性的相关性
考虑两个事件A和B，它们在静止参考系中的坐标为：
式6：两个事件A和B在静止参考系中的坐标。
图8：一个时空图说明了同时性的相对性。在运动的参照系中，B发生在A之后。
A和B在静止参考系中是同时存在的（它们出现在t=t ' =0时）。在运动的参考系中，事件的坐标是：
式7：两个事件A和B在运动参考系中的坐标。
因此，它们在运动参考系中不是同时存在的。根据那个坐标系中的时钟，B发生在A之后。因此，我们可以看到，同时性的相对性可以从洛伦兹变换中轻松得到。
下图显示了三个事件A、B和C。移动的白线是一个同时性平面。我们看到事件A, B, C的顺序取决于同时性平面的速度。
图9：事件A、B和C的顺序取决于同时性平面的速度。
时间膨胀
考虑一个在t=0时静止参考系中的观察者，他检查了运动参考系中的所有时钟。每个时钟将根据其位置x读取不同的时间：
式8：在初始参考系中所有时钟的读数作为它们位置的函数。
现在让我们考虑一个位于某个位置p的时钟。因为我们选择了一个固定的时钟，它在运动参照系中的位置x '是恒定的。为了得到时间膨胀方程，我们首先将静止的时间坐标写成运动的时间坐标。这可以简单地通过改变式5中v的符号来实现。我们得到：
式9：用运动时间坐标表示的静止时间坐标。
由于Δx ' =0，式9给出：
式10：从洛伦兹变换得到的时间膨胀。
因此，正如在同时性相对论的情况下，我们可以直接地从洛伦兹变换得到时间膨胀的方程。