特征提取算法 | 共空间模式 Common Spatial Pattern(CSP)

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共空间模式CSP

共空间模式（Common Spatial Pattern, CSP）是一种对两分类任务下的空域滤波特征提取算法，能够从多通道的脑机接口数据里面提取出每一类的空间分布成分。公共空间模式算法的基本原理是利用矩阵的对角化，找到一组最优空间滤波器进行投影，使得两类信号的方差值差异最大化，从而得到具有较高区分度的特征向量。

共空间模式理论

假设X1 和X2 分别为两分类想象运动任务下的多通道诱发响应时-空信号矩阵，他们的维数均为N∗T ,N为脑电通道数，T 为每个通道所采集的样本数。为了计算其协方差矩阵，现在假设N<T.在两种脑电想象任务情况下，一般采用复合源的数学模型描述EEG信号。为了简化计算，常忽略噪声所带来的影响。X1和X2分别为：

上式中，S_1和S_2 分别代表两种类型任务。假设两种信号源是相互线性独立的；S_M代表两种类型任务下所共同拥有的源信号，假设S_1是由m1个源所构成的，S_2是由m2个源所构成，则 C_1和C_2便是由S_1和S_2相关的m1 和m2个共同空间模式组成的。由于每个空间模式都是一个N∗1维的向量，现在用该向量来表示单个的源信号所引起的信号在N个导联上的分布权重。C_M表示的是与S_M相应的共有的空间模式。CSP算法的目标就是要设计空间滤波器F1和F2得到空间因子W。

1.求解协方差矩阵

时空信号矩阵X1和X2 归一化的协方差矩阵R1和R2:

上式中， X^T表示矩阵X的转置，trace(X)表示对矩阵对角线上元素求和。之后求解混合空间的协方差矩阵R:

上式中，

分别为任务1,2的平均协方差矩阵。

2.构造空间滤波器

2.1 正交白化变换求白化特征矩阵P

由于混合空间协方差矩阵R是正定矩阵，由奇异值分解定理进行特征分解：

上式中，U是特征向量矩阵，λ为对应的特征值的对角阵，按特征值按降序排列，白化转换U可得：

2.2 构建空间滤波器

将矩阵P作用于C_1和C_2可得：

S_1、S_2 具有公共特征向量，且存在两个对角矩阵λ1、λ2和相同的特征向量矩阵B, 对S_1、S_2进行主分量分解，可得：

且两个特征值的对角阵λ1 和λ2 之和为单位矩阵：

由上式可知，若λ1中的特征值按照降序排列，则λ2中对应的特征值按升序排列。由于λ1、λ2为S_1、S_2的对角矩阵，所以对于特征向量矩阵B，当S_1有最大的特征值时，S_2具有最小的特征值。因此可以利用矩阵B实现两类问题的分类，由此得到投影矩阵W,投影矩阵WWW就是对应的空间滤波器。

2.3 特征提取

将训练集的运动想象矩阵XL 和XR经过滤波器W滤波可得特征ZL和ZR  :

对于测试数据Xi，其特征向量fi提取方式如下，

将fi与fL和fR进行比较以确定第i次想象为想象左还是想象右。根据CSP算法在多电极采集脑电信号特征提取的定义，其中fL和fR的定义如下：

Matlab代码：

clc;clear;EEGSignals = load('graz_data/CSP_train.mat'); % 加载带通滤波后的脑电数据%check and initializationsEEG_Channels = size(EEGSignals.x_train,2);EEG_Trials = size(EEGSignals.x_train,3);classLabels = unique(EEGSignals.y_train);% Return non-repeating valuesEEG_Classes = length(classLabels);covMatrix = cell(EEG_Classes,1); % 协方差矩阵% Computing the normalized covariance matrices for each trialtrialCov = zeros(EEG_Channels,EEG_Channels,EEG_Trials);for i = 1:EEG_Trials E = EEGSignals.x_train(:,:,i)'; EE = E*E'; trialCov(:,:,i) = EE./trace(EE); % 计算协方差矩阵endclear E;clear EE;% 计算每一类样本数据的空间协方差之和for i = 1:EEG_Classes covMatrix{i} = mean(trialCov(:,:,EEGSignals.y_train == classLabels(i)),3);end% 计算两类数据的空间协方差之和covTotal = covMatrix{1} + covMatrix{2};% 计算特征向量和特征矩阵[Uc,Dt] = eig(covTotal);% 特征值要降序排列eigenvalues = diag(Dt);[eigenvalues,egIndex] = sort(eigenvalues, 'descend');% 降序Ut = Uc(:,egIndex);% 矩阵白化P = diag(sqrt(1./eigenvalues))*Ut';% 矩阵P作用求公共特征向量transformedCov1 transformedCov1 = P*covMatrix{1}*P';%计算公共特征向量transformedCov1的特征向量和特征矩阵[U1,D1] = eig(transformedCov1);eigenvalues = diag(D1);[eigenvalues,egIndex] = sort(eigenvalues, 'descend');% 降序排列U1 = U1(:, egIndex);% 计算投影矩阵WCSPMatrix = U1' * P;% 计算特征矩阵FilterPairs = 2; % CSP特征选择参数m CSP特征为2*m个features_train = zeros(EEG_Trials, 2*FilterPairs+1);features_test = zeros(EEG_Trials, 2*FilterPairs+1);Filter = CSPMatrix([1:FilterPairs (end-FilterPairs+1):end],:);%extracting the CSP features from each trialfor t=1:EEG_Trials %projecting the data onto the CSP filters projectedTrial_train = Filter * EEGSignals.x_train(:,:,t)'; projectedTrial_test = Filter * EEGSignals.x_test(:,:,t)'; %generating the features as the log variance of the projected signals variances_train = var(projectedTrial_train,0,2); variances_test = var(projectedTrial_test,0,2); for f=1:length(variances_train) features_train(t,f) = log(variances_train(f)); % features_train(t,f) = log(variances_train(f)/sum(variances_train)); %修改后对应公式 end for f=1:length(variances_test) features_test(t,f) = log(variances_test(f)); %features_test(t,f) = log(variances_test(f)/sum(variances_test)); % 修改后对应公式 endendCSP_Train_feature = features_train(:,1:4);CSP_Test_feature = features_test(:,1:4);save('CSP_feature.mat','CSP_Train_feature','CSP_Test_feature');

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