数学学习的基本原则
数学学习也要回答三个问题：为什么而学习？学什么？怎样学？数学学习原则就为这些问题提供理论依据.
数学学习是一种独特的脑力劳动，对不同的学生、不同的学习内容和学习要求.学习的对策是不相同的.从教材的规定性和学生同社会联系的具体现状出发，采用带有普遍性意义的启发式教学下的学习方式.
《数学教学要目》中把“对自然界和人类社会诸现象进行数学观察能力、函数思维能力、空间想象能力”， 培养学生“能算善想”的良好习惯作为数学教育的核心.波利亚在20年代就提倡加强思维训练，“学生学会思考”，运用数学去解决日常问题、科技问题、谜题、社会问题等.
一、 阶段渐进原则
波利亚结合“学习三阶段”提出循序阶段原则，他认为教学中常常忽视“探索”与“吸收”两个阶段，只断取了中间“概念水平”阶段，从而人为地割裂了学生认识数学应该具有的循序阶段性，使之缺乏认识的基础，又丧失了提高的机会.应该在引入新知识时能与周围现实世界密切相联，并与学生的现存知识、生活经验及自然好奇心密切相联；在理解薪资回事后，应要求学生能把新知识应用于解决新问题，或者简化老问题的解决.学生通过所学知识，对过去所学的内容的条理看得更为清晰，从而进一步开阔眼界.
波利亚还提倡循序渐进地实施解题教学.他建议讲解例题时，先让学生观察题目，以激起学生索解的冲动，讲解完毕，留出时间供回顾讨论.练习课中应提供一些能引起思考和争论性的题目，以便“吸收阶段”能顺利进行；全部题目的安排要体现出思维上的阶梯性，按解题方法的内在联系，一步一个台阶，逐步引向深入，使学生亲自体验在独立 研究中碰到的各种不同情景.
二、启发探究原则
针对 “以训诫为主的强制灌输”教育方式，孔子提出了“不愤不启，不悱不发举一隅而不三隅反，则不复也”的主张.
启发式的最大特点是引导学生动脑筋，最大限度地调动学生潜在的主动性、积极性，通过主题内因发展思维能力.
古今中国数学家直接间接地接受了这种思想而大力提倡启发式，如赵爽主张“凡教之道……愤之，悱之，然后启发，举一隅，使反之以三也”（后人谓之，“举一反三”），华蘅芳的“诱掖而引进之”也是这个意思；华罗庚、苏步青都采用启发式指导教学，促进了知识学习和智力发展的结合.人的灵魂一生下来就拥有真善美与内在的固有价值（潜存在观，pre-existence），因此教育不再是授知，而仅仅在于唤醒，在于使他内在的人性能充分展开，寻找自我.也就是让学生通过思索产生智慧，再发现（re-discovery）自己已有的知识.
像波利亚的“怎么解题表”就是启发式教学提问表，他的“解题教学风格”就是启发式的生动运用.弗赖登塔尔认为“潜存在观”应予扬弃，我们需要的是“再发现方法教学”的思想内核，同时，“再发现”（re-invention），当然它也离不开启发式或问答法.他进而指出：教学要像助产士一般，时刻观察者、联系着他的工作对象，决不可之借用学生的耳朵，而不启发学生的脑子.也就说，学生的学习是在老师的思维启发下，师生之间，学生之间的合作探究.
三、过程学习原则
“让学生看到思维过程”，这种愿望在名家队伍中由来已久.七八百年前，李冶反对“褊心跼，不肯晓然示人，唯务隐在错糅，故为溟滓黯黵.唯恐学者得窥其仿佛”的陋习，意在不可故弄玄虚，要把来龙去脉显示于学者，使其知所以然.到近代，华蘅芳身体力行暴露思维过程，他认为“古人之算学书每使人猝不易解，……病在于只将所造之镜以示人，而其从人之途，……皆秘匿而不道，因此，他“力挽之习，于一切算法无不坦白示人……不求深奥，不避粗俗，惟使人易明而已”.
“让学生看到思维过程”是提高数学学习积极性的得力措施，伟大的数学家希尔伯特的老师福克斯习惯于课堂上现想现推，有时就把自己置身于困境，再“突围”出来，这使希尔伯特有机会看到高明的思维过程是如何推进的，有力地促进了思维能力的提高.波利亚在“解题教学”中也让学生看到思维过程，而不直接出示哪怕是绝妙的解答，意在使学生能从教师的分析中懂得怎样去变更问题，怎样引入辅助问题，怎样进行联想及类比，等等.因此，学生要是教学活动的参与者，而不是旁观者；学生对数学题的求解，要当作者，而不是读者.自己积极去思考探究，比接收现成的结论（答案）强百倍.
四、归纳演绎原则
随着名家们对归纳与演绎这两个属性的不同侧面的充分认识，对数学发现艺术的深入了解，“演绎与归纳并重的原则”在数学教学中被普遍接受.这一原则波利亚解释为创造过程的实验归纳性和结果的系统演绎性.
遵循这一原则，既要教学生学习运用科学归纳、类比等方法去猜结论、猜条件、猜解法，又要让他们掌握从探索性演绎法过渡到纯形式的演绎法，把猜得的合理命题的证明建立在逻辑演绎基础上.与传统教学相比较，其中加强了实验归纳思想的教学，这正是名家们的匠心所在.
波利亚觉得以前很少把处于发现可能的过程数学提供给学生，因而呼吁：“要让学生看到数学建造过程的脚手架，而不是简单的现成品”，应加强合情理推理教学，在介绍演绎证明的同时教学生猜想，教探索性论证，让学生由发现尝试.
让自己喜欢并真正理解数学，有必要“学生再创造（re-create）数学”，即学生学会建立结果与证明.如果忽略数学归纳发现过程的教学，而过分地偏向于演绎化，就会使学生误以为数学是天才的创造物，数学定理是数学家通过演绎推理直接由几个公理导出，这就是完全曲解了数学（事实上一些伟大的数学观念的产生根本不是逻辑的结果），容易使学生产生困惑与自卑，抑制了发现数学的愿望，不利于创造性思维能力的发展.
学生在课堂上处于活跃、自由、富有创造欲望的状态，根据教师提供的实例或具体的“数学现实”，由学生们自己发现数学结论，“再创造”数学.不光是接收现成的演绎体系，还必须数学地组织现实世界（具体事物或数学概念和规律）的方法——包括公理化方法、使用数学语言形式化、现实问题转化为数学模式的方法等，参与“数学化”的过程，使数学学习成为一个趣味盎然的活动，学生在思考中活动，在活动中思考.
五、自主学习原则
充分发挥自己学习的主动性，启动自己的思维器官去探索数学的奥秘.
波利亚说：教师讲了什么并非不重要，但更重要千万倍的是学生想了些什么，学生的思路应该在学生自己的头脑中产生，主动系统地发现事物，在允许的条件下亲自去发现尽可能多的东西，同时，学生要接受教师恰当的帮助，特别是“内部帮助”.多问是什么？为什么？哪里？何时？怎样？以催化自己思想的产生.
为了主动学习，华罗庚反对“包教包会”的作法.他举例说：学生听课之后，有不懂之处就去问老师，两次，三次，没懂再问……表面上近乎好学，但实质上是学生把希望寄托于“去问”，自己懒于思考，缺乏主动性.老师不是直接以现成的答案解决学生的疑难，而是从旁提供启发线索，或借以参考书，一定要由学生主动思考后依靠自己得出结果.
真正的好老师教学时总是把学生定理的证明留给学生，只启发学生.我们需要或者热爱这样的老师，爱上老师这样的教学方式.
学生启动自主学习，必须自己主动积极配合老师，教师只能起启发引导作用，关键在于学生自己的主动性.“好学君子自相触类而考，何必尽传”，不必尽传只缘有“好学君子”.培养自己的好奇心、自觉性、意志等非智力品质视为贯彻这一原则的具体途径，创新潜质生懂得依靠自己是最可靠的力量.
六、动机激发原则
学生对教学的内在兴趣是学习的最佳动机，是执着求索的强大动力，“兴趣是最好的老师，它永远胜过责任感.”应当把兴趣的和爱好作为正在形成某种智力的契机来培养.
任何数学教学形式都在寻求激发最佳动机的办法.教师“有责任使学生信服数学史有趣的”（波利亚），然而“数学教育的最大缺陷之一却正是缺乏这种动机理解证法的大概轮廓，学生若想掌握教学内容，就得在课后主动花几倍功夫加以整理、完善的激发”.名家们深信兴趣可以培养，并积极寻求培养的途径，教师引入问题活泼、新鲜，有时诙谐些，或说些似是而非自相矛盾的见解，让学生猜测，当他们表示出某种猜想以后，就会进一步追求猜想的正确与否，从而热心起来（波利亚）；在老师的指导下指导发现数学中有趣味的东西（如简便方法），领略数学的内在魅力，好像被带进花园，而不是在门外赏花，主动学生攻钻难题，一旦成功，就会心怀喜悦，信心大增（华罗庚）；还要体会到自己不断地有收获（苏步青）；加强数学美的感受（怀特海）；等等.