八上第九讲 关于等腰三角形分割的探究

写在前面

临近期中，最近的几讲会以专题复习的形式为主．

众所周知，“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这条性质非常重要，可以用来解决许多题目．但是，我们往往忽略了这条中线将直角三角形分割成了2个等腰三角形，本讲就对等腰三角形的分割作进一步研究．

一．分割等腰三角形

例1

过等腰三角形的顶点作一条直线，若分割成的两个较小的三角形也是等腰三角形，求原等腰三角形的顶角度数．

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分析

显然，我们要进行分类讨论．首先思考过哪个顶点点作直线．设△ABC中，AB＝AC，我们可以过顶角顶点A作直线，也可以过底角顶点B作直线（过顶点C与过顶点B情况相同），即先初步分成2种情况．

如果是从顶角顶点A出发，如下图，有几种可能呢？

我们不妨列个表，若△ABD为等腰三角形，则三边中，考虑到任意两边均可相等，有三种情况．在此基础上，要使△ADC也为等腰三角形，每种情况下又有三种情况，则一共有9种．

同样，从底角顶点B出发，也是9种情况，列表如下．即共有18种情况．

同学们一定会想，18种情况，是不是太复杂了？事实上，有些情况是不可能的，有些情况是重复的，我们一一来分析．这里，显然我们可以根据“等角对等边”，利用方程来思考．不妨设原等腰三角形的两个底角∠ABC，∠ACB＝x°．

解答

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（一）、从顶角顶点A出发，△ABD是等腰三角形

(1)AB＝AD，显然不可能，此时点D与点C重合，无需再考虑△ADC的情况．

(2)AD＝BD，

则∠B＝∠BAD＝x°，

∠ADC＝2x°，要保证△ADC是等腰三角形，

AD＝AC显然不可能，

只剩两种情况：

①AD＝DC，∠DAC＝x°，4x°＝180°，x＝45，∠BAC＝2x°＝90°

②AC＝DC，

∠DAC＝2x°，

5x°＝180°，

x＝36，

∠BAC＝3x°＝108°

(AC＝DC不可能，此时AB＝AC＝BD＝CD，即AB＋AC＝BD＋CD，会出现AB＋AC＝BC的情况，不符合三角形三边关系)

解答

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（二）、从底角顶点B出发，△ABD是等腰三角形

(1)AB＝AD，同样不可能，此时点D与点C重合，无需再考虑△BDC的情况．

(2)AD＝BD，

则∠A＝∠ABD＝180°－2x°，

要保证△BDC是等腰三角形，

BD＝DC显然不可能，

只剩两种情况：

①BD＝BC，∠BDC＝360°－4x°，360°－4x°＝x°，x＝72，∠BAC＝180°－2x＝36°

(3)AB＝BD，

∠BDA＝∠A＝180°－2x°，

∠BDC＝2x°，

则BD＝BC，不可能，底角不等；

BC＝DC，也不可能，

此时∠DBC＝2x°＞∠ABC

其中，顶角为36°的等腰三角形，底边长与腰长之比约为0.618，顶角为108°的等腰三角形，腰长与底边长之比约为0.618，符合黄金分割，因此得名“黄金三角形”!

二．分割任意三角形

例2

如果过一个三角形顶点A的直线可以将△ABC分割成2个等腰三角形，试探究原三角形中两个角之间的最简数量关系．

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分析