输对数的概念入标题

对数的概念

新课引入

某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，….

问题　依次类推，那么1个这样的细胞分裂x次得到细胞个数N是多少？分裂多少次得到细胞个数为8个，256个呢？如果已知细胞分裂后的个数N，如何求分裂次数呢？

提示　2^x个，3次，8次；由2^x＝N可知当N已知时，x的值即为分裂次数.

新知梳理

1.对数的概念

（1）对数的概念

一般地，如果a^x=N(a>0,且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=log_a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.

(2)常用对数与自然对数

熟记无理数e的大小，在后面估算中经常用到

通常，我们将以10为底的对数叫做常用对数，并把log₁₀N记为lg__N，另外，在科技、经济以及社会生活中经常使用以无理数e＝2.718 28…为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数，并把log_eN记为ln__N.

2.对数与指数的关系　 易得a^logaN＝N，log_aa^b＝b.

根据对数的定义，可以得到对数与指数之间的关系：

当a>0，且a≠1时，a^x＝N 、x＝log_aN.

3.对数的有关结论　 对数的有关结论是解题的重要依据

(1)零和负数没有对数；

(2)1的对数为零，即log_a1＝0(a>0且a≠1)；

(3)底数的对数为1，即log_aa＝1(a>0且a≠1)

随堂训练

概念辨析

1.根据对数的定义，因为(－2)⁴＝16，所以log_(－2)16＝4 .    (×)

提示　因为对数的底数a应满足a>0且a≠1，所以错误.

2.对数式log₃2与log₂3的意义一样.     (×)

提示　log₃2表示以3为底2的对数，log₂3表示以2为底3的对数，所以错误.

3.对数的运算实质是求幂指数.     (√)

概念训练

1.若log₃(2x－1)＝0，则x＝________.

解析　若log₃(2x－1)＝0，则2x－1＝1，即x＝1.

2.若log_x8＝3，则x＝________.

解析　由指对互化知x³＝8，所以x＝2.

思维发散

1.任何一个指数式都可以化为对数式吗？

提示　不是，如(－3)²＝9，不能写成log_(－3)9＝2.

2.在对数的定义中为什么不能取a≤0及a＝1呢？

提示　

①a<0，N取某些值时，log_aN不存在，如根据指数的运算性质可知，不存在实数x使(-2)^x＝8成立，所以log_(-2)8不存在，所以a不能小于0.

②a＝0，N≠0时，不存在实数x使a^x＝N，无法定义log_aN；N＝0时，任意非零实数x，有a^x＝N成立，log_aN不确定.

③a＝1，N≠1时，log_aN不存在；N＝1，log_a1有无数个值，不能确定.