西姆松定理[西姆松定理]

M为线段PH的中点连AH延长线交圆于G。

1.

M为线段PH的中点连AH延长线交圆于G。

证明：连PG交西姆松线与R,BC于Q

如图连其他相关线段

西姆松定理

AH⊥BC,PF⊥BC==>AG//PF==>∠1=∠2A.G.C.P共圆==>∠2=∠3

PE⊥AC,PF⊥BC==>P.E.F.C共圆==>∠3=∠4

==>∠1=∠4

PF⊥BC

==>PR=RQ

BH⊥AC,AH⊥BC==>∠5=∠6

A.B.G.C共圆==>∠6=∠7

==>∠5=∠7

AG⊥BC==>BC垂直平分GH

==>∠8=∠2=∠4

∠8+∠9=90,∠10+∠4=90==>∠9=∠10

==>HQ//DF

==>PM=MH

2.平分点在九点圆上。

证明：如图：设O,G,H 分别为三角形ABC的外心，重心和垂心。

则O是,确定九点圆的中点三角形XYZ的垂心，而G还是它的重心。

那么三角形XYZ的外心 O1， 也在同一直线上，并且

HG/GO=GO/GO1=2，所以O1是OH的中点。

三角形ABC和三角形XYZ位似，那么它们的外接圆也位似。两个圆的圆心都在OH上，并且两圆半径比为1:2

所以G是三角形ABC外接圆和三角形XYZ外接圆(九点圆)的'反'位似中心(相似点在位似中心的两边),H 是'正'位似中心(相似点在位似中心的同一边)。

所以H到三角形ABC的外接圆上的连线中点必在三角形DEF的外接圆上。