全体自然数的和是-1/12
最近有一个很有趣的视频，讲述了这样一件数学趣事：全体自然数的和是-1/12。
虽然果壳和知乎上都已经有了问答，但是数学语言过于晦涩，不利于理解，所以我自己写了一份更简洁的日志作为阐述，不过尽量保证了严谨。
首先说视频，他是这么证明的：
设
这个东西等于多少呢？很显然，这要看你在什么地方停下来了，如果你停在第奇数个1上，结果就是1；如果停在偶数个1上，那结果就是0。既然这样的话，那就平均一下好了，它等于1/2。看到这里，你显然会觉得这实在荒唐愚蠢，但是更“荒唐”的东西还在后面，但新奇的东西也在后面，你最好还是继续看下去。
好，有了S1=1/2，他又令
那么取两个S2错开一位相加，即
则有2S2=S1=1/2，，也就是S2=1/4 ！虽然这让人很不服气，但是他接着计算
既然S2=1/4，那么我们大功告成了，S=-1/12 ——全体自然数的和是 -1/12 ！
看到这里的时候，我想几乎所有人都和我一样觉得这实在是牵强附会荒唐可笑，但视频中一再声称这种算法的意义，所以我翻墙出去做了个简单的研究，得到了这样的结论：我们确实可以对全体自然数求和得到 -1/12 ，但这个和并非我们做加法得到的代数和，而是发散级数和—— 这个 -1/12 根本就不“ 加 ” 出来的。于是，下面就是我对这个问题的解释，虽然有一些公式，但是都极其简单，你可以轻松阅读不费脑子。
要弄明白这个问题，我们首先要知道什么是“ 级数”以及 “ 发散级数” ，而这是一个非常简单的问题。
随便找一个数列，比如等差数列 an=n ，也就是1 、2、3 、4 、5、6 ……
把数列中的每个元素都用加号连接起来，就是一个级数， 其实就是求总和。对于上面的an，它的级数就是
其中，级数的前n项的和被称作部分和，记作Sn（其实就是“数列的前n项和”，高考复习翻来覆去做过的那个东西）。
那么只要上过高中就能意识到，随着n趋于无穷，级数的部分和Sn有可能趋近于某一个值，即有极限，比如级数1+1/2+1/4+1/8……，它的部分和就会不断趋近于2。这样的级数称为收敛级数，这个部分和的极限就是收敛级数的和；
级数的部分和Sn也可能不趋近于某一值，即无极限。比如1+2+3+4+……，越加越大趋于无穷；又比如1-1+1-1+……，部分和一会儿是1一会儿是0，永远不会固定。只要级数的部分和不是越来越接近某一个定值，就都是发散级数。
事情到这里，都是高中数学就学过的内容。很明显的，在这样的背景下，一个发散级数的和没有意义，但是在应用数学中，尤其是物理学的数学应用中，常常被迫需要计算发散级数的和。于是，数学家们发明了很多种算法，在保证收敛级数的和不变的前提下，又让发散级数确实能算出一个东西来，这就是发散级数和，也就是视频里计算出来的那个东西。
但是要注意，视频里加来加去的计算只是发现了发散级数的和，但并不能给出良性的定义，也就不是严格意义上的发散级数求和，所以千万不要觉得数学家和物理学家是在胡闹，更不要对科学的严谨产生怀疑。
那么，如何计算发散级数和呢？
事实上，发散级数和有许多种算法，这些方法强度不同，但结果一致，这里先捡一个最简单也最弱的“切萨罗求和”。
恩纳斯托·切萨罗（Ernesto Cesàro，1859-1906）
切萨罗求和（Cesàro summation）是意大利数学家恩纳斯托·切萨罗（Ernesto Cesàro）发明的发散级数求和法。对于一个发散级数
，对它的部分和数列Sn求前n项的平均值，即令
如果tn有极限，那么这个极限就是发散级数的和，称为切萨罗和。不难体会到，切萨罗和本质上是在求数学期望，视频里辅助用的级数1-1+1-1+……=1/2那个“平均一下”就是这么来的。
当n无穷增大的时候，分子上的1只有n的一半那么多，所以它显然是1/2。
这个乍看怪异的级数和首先由意大利数学家路易吉·格兰迪（Luigi Guido Grandi）于1703年发现，因此被称为格兰迪级数，当时被当作一个佯谬。后来那个著名流体力学奠基者，荷兰数学家丹尼尔·伯努利（Daniel Bernoulli），以及瑞士的大数学家莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）都对它做过研究，一直都是争议的焦点。直到19世纪才由切萨罗等人提出了这样的良好定义。
路易吉·格兰迪（Luigi Guido Grandi，1761-1742）
莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler，1718–1781）
丹尼尔·伯努利（Daniel Bernoulli，1700-1782）
而到了量子物理时代，格兰迪级数及其衍生级数意外的变得有用——这或许让你联想起薛定谔的猫，要么是死（0）要么是活（1），那它就是半死不活（1/2）。但它们的关系显然不是这么幼稚简单，它被用来研究量子化的费米子场（费米子包括组成实体万物的基本粒子，比如电子、质子、中子，以及中微子这样极其重要的基本粒子），它们同时具有正的和负的本征值。另外在玻色子（比如光子）的研究中，格兰迪级数也有戏份，比如揭示宇宙中“真空不空”的“卡西米尔效应”
而格兰迪级数最重要的衍生级数，就是视频里的另一个辅助用的级数：
它最早于18世纪中期由欧拉发现（又是他，而且当时他已经瞎了）。视频里发现这个级数和的时候错开了一位，但实际上错开多少位结果都一样，例如错开两位：
当然，欧拉这样的数学大师是用了更复杂的方法才发现了它，并被当作另一个佯谬提出。这个佯谬直到19世纪80年代初才由刚才的恩那斯托·切萨罗等人研究出了定义良好的计算方法，但是，这个级数不能直接用上面的切萨罗求和计算，因为tn仍然没有极限，需要做一些复杂的扩展，这里就不加说明了，或者采用下面灰字部分的 阿贝尔求和也能轻易算出——如果你不想看，不看也可以。
阿贝尔求和（Abel summation）来自挪威数学家尼尔斯·阿贝尔（Niels Henrik Abel）在幂级数研究上的总要结果阿贝尔定理（不要介意这个定理是干什么用的）。
如果|x|<1，且幂级数（也就是级数中的每一项都有一个指数）
收敛，那么
就是级数
的阿贝尔和。
END