传说，曾经有一个苹果落下,砸在牛顿头上(这个传说流传很广,据一些资料称,这应归功于一个有名的法国人阿鲁埃,人们更常知道的是他的化名伏尔泰②).只因为此刻之前,牛顿的头脑中已经装着开普勒三大定律以及许多其他的东西,所以结果也就与苹果落到别人头上大不相同了。此事过后,在作为一门科学的数学中发展出一些东西,其中的某些部分在此后三百年中成为自然科学的基础知识。
①在米哈伊尔阿法纳西耶维奇·布尔加科夫的小说《大师与玛格丽特》中,众所周知,魔法那场戏是以揭穿真相结束的《数学语言和数学方法》这篇普及性的文章与本书有着类似的关系。②姓Arouet(准确的说法在其后还有L(e)J(eun)的拉丁写法是AROVETLI由此,把字母作相应的置换就得到化名VOLTAIRE(伏尔泰)。
我们举出这个例子,为的是以它作背景讲讲数学作为一门科学有些什么特点,在这里,我们不打算给数学下定义,而是直接观察具体例子,并确认一些已经明明白白摆在我们面前的事实。数学使我们能把问题翻译成某种专门的语言(符号,等式……)因此,数学具有语言的属性。但这也明显不同于对原始问题的直接翻译,例如不同于从希腊语译成俄语或汉语.根据任何一个这样的直接翻译,一方面,多少能恢复原问题的文本和内容;另一方面,经过这种翻译,改变的只是写法,而问题不变。对于问题的数学表达或数学记法,如果遗失了问题的原文,我们就绝对丧失了把它恢复成具体的个别问题的可能性。然而,这时我们得到的是一个明确的数学问题(在这里,就是求解方程组）它一旦解决了,我们原来的具体问题以及所有与其类似的问题也就一并都解决了。数学家找到的方法既能解方程组,又能解乍一看除了数学家自己其他人都不感兴趣的问题.事实上,这类似于抽象的数,它们是服务于很大范围内的具体对象和现象的。因此,数学常常不只是给出专门的语言(力求用它记述出现的问题,并舍弃那些次要的东西），而且也给出由此得来的纯数学问题的求解方法。解决了纯数学问题后,特别地,我们也就能得到感兴趣的特殊问题的解答。如果有适合于发现的符号,那么,通往真理的道路就会大大缩短(菜布尼茨)；“遵照阿基米德的遗嘱,在他的墓前立了一个有内切球的圆柱作为纪念碑,上面刻着由他发现的圆柱与内切球的体积之比——3:2。一百五十年过后,著名罗马作家西塞罗在西西里工作时还看到过这个已被遗忘的纪念碑,那里长满了黑刺李。”希腊人阿基米德以前住过的地方,早已不属于希腊了.消失的不只是伟人的墓,还有整个国家和文明,但阿基米德原理仍然与日月同在.这里集中体现出了真理与科学的永恒价值和无限魅力。当然,还可看到数学中还有许多其他方面的东西.例如,罗蒙洛索夫不无根据地指出：数学虽然让人感到抽象,却要从自然科学问题中汲取营养,又毫不吝啬地用自己这片沃土上长出的果实回报自然科学。这就像呼吸一样。无论是在科学中,还是在其教学中,破坏这个平衡都是危险的。枯燥乏味、抽象空洞的经院式科学是注定要灭亡的。
科学中的阶段性飞跃常常是用有趣而独特的方法实现的,这在像理论物理和数学这样的抽象科学领域中表现得特别明显。设想有一个沙漏计时器.为了使它能正常地工作,必须不停地把它翻过来倒过去。在数学中也是这样.首先收集到许多新鲜有趣的事实,从中找出从某方面来讲核心的、关键的、能够把原有事实联系起来的东西,并把这些东西当做具有颠覆性且涵盖了数学乃至宇宙中更大范围事实的初始原理(例如把定理当做公理）,以便在此基础上继续发展。例如,牛顿定律源于伽利略和开普勒的发现,但从牛顿定律出发便可导出开普勒三大定律以及许多其他的结果.随着物理学进一步发展出现了一些新的力学变分原理,它们描述更多非中心力的现象和相互作用。从某种意义上看,科学理论的范围在这些变更时期发生了变化：基本原理被替换并且数量更少,但是它们涵盖和关联的对象和现象的范围却扩大了。（顺便说一句,那些抱怨教学大纲过于繁重的人通常并未注意到学科范围的变化。还有一点,也许我说得不是时候。发财的方法有两种:一是攫取切财富为己所有,如战争,抢劫;二是创造价值,如持续地认真工作。洛伦兹是一位杰出的荷兰人,是许多物理学家的导师.爱因斯坦证实,洛伦兹在谈到第一次世界大战时,曾谦恭地说:“我很幸运,我所属的国家是一个干不成大蠢事的不足道的小国.”据说,前不久(也可能就是现在),在日本的儿童识字课本中有大致这样的话:“我们的国家很小,也很穷.为了使她富起来,我们应当更多更好地工作”芬兰在以前只是俄罗斯的一个落后的省,现在却向我们展示出自己诚实劳动和尊重规律的丰硕成果。科学的归纳方法,在某些时候,比“天上掉馅饼”的方法更扎实可靠)我们约定,这里所说的高等数学指的是在牛顿和莱布尼茨的著作中已经形成,并在后来的三百年中得到蓬勃发展的数学。这门数学不仅研究常量,还研究发展的过程。对于整个科学具有基本意义的函数的概念出现了,并逐步形成了它的准确定义。利用导数这个术语,任意变量的变化速度和加速度有了与其含义完全相符的数学表达式。新的语言和新的运算产生了(当依据给定函数关系求量的相对变化速度时,要作微分运算;而当求解相反的问题时,例如依据速度或加速度求运动物体(譬如潜水艇)的位置时,要作积分运算)。如果不是在整体上考察教育问题的话,至少对于自然科学教育,这种微分和积分运算的基础内容像乘法表一样,现在是必不可少的组成部分。这是为什么呢?我们来作一个说明如果x=x(t)是运动规律,亦即物体的坐标对时间的依赖关系,那么,用微分运算可求出它的速度v=x'(t)和加速度a=x'(t).如果已知物体的质量m和作用在它上面的力F,则根据牛顿定律应成立关系式：这是一个包含导数的等式(在这种情形下,它包含未知函数x(t)的二阶导数x'(t)）.如果我们对这个物体在给定的力F(t)的作用下将怎样移动感兴趣,那么我们就要寻找在这种情况下满足上述方程的未知依赖关系x=x(t)。所以有必要研究并求解一种全新类型的方程---微分方程。这也是一个纯数学问题(它是从行星运动、星系演化、核反应堆运行、面包烤制,以及银行储蓄、保险金、微生物、鱼和水生生物种群、捕食者和被捕食者的数量变化等抽象出来的).但它与这一切有直接关系。这样,当数学建立起一种能为某一类问题提供解决方法的理论时，它也就为我们提供了研究一个新领域内所有具体现象的工具。现象可能是早已存在的,就像在阿基米德原理出现以前就已经有了木筏,但现在我们对它们理解得更好.准确地说,我们建立了它们的数学模型,我们不仅理解这个数学模型,而且能借助于数学工具在某种程度上处理它.通常,只需一个这样的应用就足以补偿文明社会为数学家慷慨支付的粉笔费。“自然科学的全部知识是以观察为基础的.但观察只能确定事物的状态。怎样预见未来呢?为此必须把观察与数学结合起来。”假如没有数学,自然就不会有我们所知道的牛顿、麦克斯韦、爱因斯坦、外尔……,而我们每天都能坐享其成果的文明也就不复存在。
大使的回答深得我心.他说:我不知道。我只能假设,但我不知道那正不正确.日本人相信他们只有一种出头的方式,就是让子女受更多的教育,比自己受的教育更多.对他们而言,脱离农夫的地位,成为知识分子是很重要的事.所以每个家庭里都勤于督促小孩,要在学校有良好的表现,努力上进,因为这种不断学习的倾向,外来的新观念会在教育体系中很快地散播,也许那是日本快速发展的原因之一”
