第十四章、第十五章习题整理

因式分解与实际问题

例1某市为适应经济的快速发展，现需要将一条长3300m的道路重新拓宽，预计3个月完成，已知第一个月完成34%，第二月完成36%，问这两个月共完成多少米的拓宽任务？

　　解：3300×34%+3300×36%=3300（34%×36%）=3300×70%=2310

　　所以这两个月共完成2310m拓宽任务．

　　例2在电学公式：U=IR₁+ IR₂ +IR₃，当R₁=12.9 R₂=18.5  R₃=18.6，I=2时，求U的值

　　解：当R₁=12.9 R₂=18.5  R₃=18.6，I=2时

U=IR₁+IR₂+IR₃=2×12.9+2×18.5+2×18.6=2×（12.9+18.5+18.6）=2×50=100

　　例3、学校在一块边长为 13.2m的正方形场地，准备在四个角落各建一个边长为3.4m的正方形喷水池，剩余的部分修成绿地，若购买 130m²的草坪，够不够铺绿地？

　　解：依题意得13.2²−4×3.4²=13.2²−(2×3.4)²=13.2²−6.8²=(13.2+6.8)(13.2−6.8)=20×6.4=128

　　因为130>128

　　所以购买130m²的草坪，够铺绿地．

　　例4、一种圆筒状包装的保鲜膜，如下图所示，其规格为“20cm×60cm”，经测量这筒保鲜膜的内径φ₁、外径φ的长分别为3.6cm、4.4cm，则该种保鲜膜的厚度约为_____（π取3.14，结果保留两位有效数字）．

　　解：设设厚度为xcm，依题意得

x×20×6000=

x×20×6000=20×3.14×(2.2²−1.8²)

6000x=3.14×(2.2+1.8)(2.2−1.8)

6000x=5.024

　　解之得 x=8.4×10⁻⁴

　　例5 达活泉公园有一块长为 51.2m的正方形绿地，为了便于游人通行，决定修两条互相垂直的小路，如图小路宽 1.2m，问剩余绿地的面积是多少？

　　解：51.2²−(2×1.2×51.2−1.2²)

=51.2²−2×1.2×51.2+1.2²

=(51.2−1.2)²

=50²

=2500

　　所以剩余绿地的面积为 2500m²

　　例6在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式x⁴−y⁴，因式分解的结果是(x−y)(x+y)(x²+y²)，若取x=9，y=9时，则各个因式的值是：(x－y)=0，(x+y)=18，(x²+y²)=162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式4x³y−xy³，取x =10，y =10时，用上述方法产生的密码是：　　　(写出一个即可)．

　　解：4x³y−xy³= x(4x²−y²) = x(2x+y)(2x−y)

　　当x = 10，y = 10，各因式的值是：x = 10，(2x+y)= 30，(2x−y) = 10

　　又因为这六个数字不考虑顺序，所以产生的密码为103010；101030；301010

分式运算中的常用技巧与方法

含参分式方程问题

分式方程与实际问题

例1、为了营造出“城在林中、道在绿中、房在园中、人在景中”的城市新景象，某市园林局计划在一定时间内完成l 00万亩土地的绿化任务．现为配合该市东部城区大开发的需要，市政府在调研后将原定计划调整为：绿化面积在原计划的基础上增加20％，并且完成任务的时间不变．园林局经测算得知，要完成新的计划．平均每年的绿化面积必须比原计划平均每年的绿化面积多5万亩．求原计划平均每年的绿化面积．

　　分析：本题所包含的等量关系有：新计划的绿化丽积=原计划的绿化面积×(1+20％)，新计划完成任务的时间=原计划完成任务的时间，原计划平均每年的绿化面积+5万亩=新计划平均每年的绿化面积．

　　设原计划平均每年的绿化面积为x万亩．则

．

　　解：略．

　　例2  “丽园”公司生产的960件新产品，需要精加工后才能投放市场．现有甲、乙两个工厂都想加工这批产品．已知甲工厂单独加工完这批产品所用时间是乙工厂单独加工完这批产品所用时间的倍，而乙工厂每天比甲工厂多加工8件产品．该公司需付甲工厂加工费每天80元，需付乙工厂加工费每天l 20元．

　　 (1)求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品．

　　 (2)公司制定新产品加工方案如下：可以由每个工厂单独完成，也可以由两个工厂同时合做完成；在加工过程中，公司需派一名工程师每天到工厂进行短暂的技术指导，并负担他每天5元的午餐补助费．请你帮助公司选择一种既省时又省钱的加工方案，并说明理由．

　　解：(1)设甲工厂每天能加工z件新产品，则乙工厂每天能加工(x+8)件新产品，根据题意得

．解得x=16．经检验x=16是所列方程的根．x+8=16+8=24(件)．

　　所以，甲、乙两个工厂每天分别能加工l 6件和24件新产品．

　　 (2)若由甲工厂单独完成，则所需时间是：960÷l6=60(天)；所花费用是：80×60+5×60=5 100(元)．

　　若由乙工厂单独完成，则所需时间是：960÷24=40(天)；所花费用是：l20×40+5×40=5 000(元)．

　　若由甲、乙两个工厂合做完成，则所需时间是：960÷(16+24)=24(天)；所花费用是：(80+l20)×24+5×24=4920(元)．

　　通过计算可知，选择甲、乙两个工厂合做的方案加工这批新产品比较合适，既省时又省钱．