重庆市南开中学高2021届第八次月考第8题：均值不等式求最值

重庆·云师堂

高考的步伐越来越近，就算我如何努力也不能面面俱到，但还是尽量照顾周全。今夜我们重拾均值不等式。

不等式板块，教材已删减得面目全非，最重要的均值不等式还在，所以高考不可能视而不见。严格地说，均值不等式并非一个不等式，而是一串不等式，就像链条，所以多选题有了称心如意的载体。

1  围观

一叶障目，抑或胸有成竹

本题似乎没有压轴题的样子，就算放在第5题都嫌简单。

其实并非所有的压轴题都很难，诸如2007年山东卷的第16题（见操作），2009年山东卷的第12题以及全国2卷的若干题。高考临近，太难了怕你心灰意冷，所以打打鸡血。但这并不意味着你可以得意忘形，高考没结束，悠着点。

解决均值不等式可从以下方面考虑：

①消元，化二元为一元，减少变量干扰；

②配凑，配凑均值不等式的结构（凑系数、添项与减项）；

③常值代换，利用1的代换构造均值不等式的形式；

④重要不等式，利用重要不等式进行放缩。

2  套路

手足无措，抑或从容不迫

法1，消元，化二元为一元（注意恒等变形），然后分离常数，配凑均值不等式的结构求得最值。

消元法是解决多元问题最容易想到的方法，但不一定简单，甚至有些题根本不奏效，所以我们不止需要这一板斧。

法2，“1的代换”，这是本题最常见的打开方式，没有老师会置若罔闻。

上述变形像极了直线方程的截距式，因此，均值不等式也时常以直线方程为载体。即便是这样，难度也不会太大，常值代换总能一击得手。

法1与法2皆是从条件入手，法3则换位思考，从结论出发，化积为和，求得最值。

均值不等式难就难在变形，幻化无穷。可一旦掌握，就像变戏法似的，随心所欲，挥洒自如。

3  脑洞

浮光掠影，抑或醍醐灌顶

柯西不等式已被踢出教材，但我还是很乐意在此介绍。

好东西，岂可独自享用。

柯西不等式的全称叫“柯西-布列可夫斯基-施瓦茨不等式”，听着名字都洋气。正是后两位数学家的推广，才使得这一不等式达到近乎完美的地步。

柯西不等式及其推论在证明不等式中有着广泛的应用，这里介绍其中一个。

4  操作

形同陌路，抑或一见如故