将军的困惑——“将军饮马”引发的系列故事
【时隔五日，才发表这篇文章，原因有三：一是小编工作确实忙；二是这周学校发生了一件很“狗血”的事，小编气量大，不与小人一般见识；三是这篇文章小编确实费心了，构思近一个多月，翻阅大量的资料，甚至把小编大学课本物理书都搬出来，只希望给大家数学知识的前提下，让大家了解一下，我们的大自然】
唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，记录了一位将军在观望烽火之后，从山脚下出发，走到河边饮马后，再回到宿营的活动过程，如图：
自然而然，我们会想到这样一个实际问题：饮马点该选在何处才能使得总行程最短。实际上在古希腊也有这样的经典问题：古希腊亚里山大里亚城有一位久负盛名的学者，名叫海伦，有一天，有位将军不远千里专程前来向海伦求教一个百思不得其解的问题：将军从A地出发到河边饮马，然后再到B地军营视察，显然有许多走法。问走什么样的路线最短呢？精通数理的海伦稍加思索，便做了完善的回答。这个问题后来被人们称作“将军饮马”问题。
实际上，我们可以把“将军饮马”问题抽象成数学问题，即：
在这里，小编要特意强调一下，这是生活中的问题转化为数学模型来解决，倘若转化为物理模型，就会变成“光的反射”与“物体的反射”，小编这样告诉我的学生们，为什么光速是最快的，因为它足够聪明，只选择最短距离，譬如说，“两点之间线段最短”，所以光沿直线传播，当遇见反射面反射时，就会转化为我们数学中的“将军饮马”的最短距离问题；当然还有生活中的物体反射，这一理论，小编上初中时就精通，所以在当时风靡的台球游戏中，小编的反弹球打的也是很棒的！！
接着谈将军饮马问题，话说将军从A地出发到河边饮马，在河边饮马的同时，被河面的风景吸引，决定在饮完马后，在河边沿河岸走一段距离，再返回到B地军营视察，如何设计路线，使得路线最短呢？我们仍可以把问题抽象成数学问题，即：
再谈将军饮马问题，也不算饮马了，反正是将军问题，话说将军俘虏了河对面一座城池C,需要在河岸上建一座浮桥，那么将军每日要在军营B地视察，然后到城池C地视察，如何设计路线，使得路线最短呢？我们仍可以把问题抽象成数学问题，即：
投降者，反复小人也！C城城主暗地操练兵马，感觉自己羽翼已丰，叛离将军，决定与将军再战一场，毕竟自己背叛将军，心中有愧，让将军选择决战地方，此时的将军对数学已有极大兴趣与研究，片刻，决定出方案，在河岸上选择一处，使得到达此处，敌军比我军行走的路程尽可能的多。我们仍可以把问题抽象成数学问题，即：
消灭叛军后，该将军扩大战果，将军营搬到另外一个地方，该地附近有一抛物线型的河流，此刻的将军，不得不考虑当下的距离问题，抽象成数学问题，即：
熟悉抛物线的光学性质，我们知道：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴。又是神奇聪明睿智的光，只走最短路径。
同样我们知道：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上；
从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线是散开的，它们就好像是从另一个焦点射出的一样。
那么在椭圆与双曲线中，是否也有这样光的神奇，我们不妨假设这位将军接到命令，换防到另外两个区域，附近分别有椭圆形与双曲线形的河流，转化为数学问题：
我们在谈谈这位将军，为了简单，我们这位将军再次返回到最初的军营，旁边仍是直线型河流，话说某一天，军营着火了，这位将军正在带领士兵在山脚下，需要迅速到河边取水，并返回军营救火，我们假设士兵随身携带水桶，（这个细节问题就别追究了，呵呵）将军迅速下令，士兵迅速跑到点P处，取水，并返回到B处，我们已经知道距离最小，好在士兵迅速救火，损失并不大，但是实际上，这并不是最佳方案，尽管距离是最小，但是由于士兵们从A地到P地，是携带空桶，而从P地到B地，却是携带水的桶，是负重跑，这两段路程的速度是不同的，所以这种方案尽管是距离最短，但是并不是时间最短，所以如果要想尽快到达B处，我们应该携带空桶走的路程更多一些，也就是应该在下图中红色区域内取水，进而返回到P地，但这个位置具体选择在何处，具体取水位置在什么地方，就不太容易找到精确的位置了。
观察上图蓝色路线，再联系之前提到光的直线传播以及光的反射，很容易想到光的折射，实际上，法国数学家费马于1657年就提出了这一理论：光在任何介质中从一点传播到另一点时，沿所需时间最短的路径传播，也称为最小时间原理或极短光程距离。
我们在物理学中学过光学的折射定理：光从一种介质射向另一种介质的平滑界面时，会发生折射现象，其入射角的正弦值与折射角的正弦值成正比，该比值相对于两种介质来说，是一个常数，称为第二介质对第一介质的相对折射率，等于光在这两种介质中传播速度之比。如图：
为什么这样，时间会是最短呢？我们从数学角度来解释一下：
当然这个最小值计算起来还是有点小困难的，小编之所以这周推迟到现在才发表这一文章，是因为把大量的时间用在了这一计算上，甚至请教我校资深的物理教师也没有得到较好的结果，当然在实际操作过程中，我们可以尽可能地选择近似这个方向来解决问题，就可以！
我们接着来研究一个古老的“胡不归”传说，说的是：从前有一个身在A地当学徒的小伙子，当他得悉在家乡B地的年老父亲病危的消息后，便立即向掌柜告了假借了些钱启程赶路，由于思念心切，他挑选了全是沙砾地带的直线路径AB，他认为走近路必定最省时，因此，他放弃了沿驿道AC先走一程的想法。当他气喘吁吁地来到父亲跟前时，老人刚刚咽了气，小伙子不觉失声痛哭.邻舍闻声前来劝慰，有人告诉小伙子，老人在弥留之际，还不断喃喃地叨念“胡不归？胡不归？……”。并且深为怜惜地问道：“你为什么不先沿驿道先走一程呢？”
由上述古老的传说，引起人们的思索，若小伙子要提前抵达家门，这是否有可能呢？倘若有可能，则又应该选择一条什么样的路线呢？这就是曾经风靡千年的“胡不归”问题。
这位小伙子回家心切，选择了一条笔直的道路，尽管距离是最短的，但是忽略了在驿道上行走要比在砂土地带走得快得多，也就是说，如果他能选择一条合适的路线（尽管路程可能会远一些，但是速度是可以加快的），是可以提前到达家里的。
现在的问题是选择哪一条路线呢？我们不妨把这一问题看作光的折射问题。
我们设想从点A发出的一束光（代替这位小伙子）先与两介质（驿道和砂土地带）界面AC（也就是驿道）成一个很小角度入射到点D，此时光速为小伙子在驿道上行走的速度，然后折射到第二种介质（砂土地带）到达点B，此过程光速为小伙子在砂土地带行走的速度，则要想使得所用时间最短，则光束的路线即小伙子行走的路线ADB是符合光的折射定律的。
所以小伙子应先沿着驿道行走2，到达D处，再沿着DB的方向回家，此时所用时间最短。
最后，我需要讲一个感觉很好玩的事情，其实不仅仅是光，就连生物体的行为都会找寻到最优化问题，不信看这张照片:
曾经有研究人员把一些食物放到和蚁巢有着一定距离的地方，之间有着两个笔筒的地带，使得蚂蚁在这两个地带行走的速度是不同的，然后惊奇地发现蚂蚁在搬运食物时行走的并不是一条直线，存在这一个折线，放佛光在两个不同的介质中传播，形成的折射一样。如此神奇的蚁群，如此神奇的大自然！！！
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