一类点关于直线对称的秒杀法——几何法

今天讲解习题，在同一张试卷中，出现两道点关于直线对称的问题。

这两道习题都涉及到点关于直线对称，而我们求点关于直线对称的点，利用的方法是构造方程组：两直线垂直，即斜率之积等于-1,；两点中点在对称轴直线上。依据是对称轴是两点的垂直平分线。方法固定、简单，但是学生反应繁琐。当然我们可以选择记忆公式，可是公式比运算的繁琐量并不低。所以还是强调学生通过解方程组的方法求对称点。

但是我发现，这两道题中的对称轴直线的斜率为1或-1，当然这并不是偶然，在解决点关于直线对称的问题中，这样的对称轴经常容易出现，或许是因为这样的直线比较容易计算一些。

当然我们解决此类问题也可以选择平移坐标轴，使得直线为一三象限的角平分线或者二四象限的角平分线来完成，这种方法，我不再讲解，今天我着重介绍另一种方法：构造正方形。

这样的思路来源于在上课过程中，我给学生强调构造方程组的依据是对称轴是两点的垂直平分线。垂直平分？脑海中瞬间出现正方形，正方形的对角线相互垂直平分，于是，我借助于图形，快速完美地解决了这类问题。

以第一题为例：

我们容易发现，

接下来，我们构造正方形。

那么其他的点呢？能否也能用这一方法求出对称点呢？

我们选一不在坐标轴上的点来尝试，

如图：

显然是可行的，我们在利用以上方法找出对称轴斜率为1的情况，更一般的情况：

你再来尝试做一下最开始的第2题，看看是否掌握这种方法。

在这里需要注意的是，这种方法只能解决对称轴斜率为1或者-1的情况，其他就没有效果了，譬如，我们来看对称轴斜率为2的直线：

显然，如果我们像上诉方法做出图形后，得出得是是矩形，由于对角线与矩形边所成的角不是45°，所以不是正方形，也就是说，尽管我们可以轻松求出其他点的坐标，但是并不是垂直，所以不可能是对称点。

而我们要得到对称点，得保证垂直平分，即要作出正方形，如下图：

需要作出与对称轴成45°的直线，显然直线不易作出，交点坐标也不易找到，所以此类方法适用于对称轴斜率为1或者-1的情况，而这种情况在解决点关于直线对称的时候是常见的。

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