拓扑排序

对一个有向无环图(Directed Acyclic Graph简称DAG)G进行拓扑排序，是将G中所有顶点排成一个线性序列，使得图中任意一对顶点u和v，若边<u,v>∈E(G)，则u在线性序列中出现在v之前。通常，这样的线性序列称为满足拓扑次序(Topological Order)的序列，简称拓扑序列。简单的说，由某个集合上的一个偏序得到该集合上的一个全序，这个操作称之为拓扑排序。

预备知识

一个较大的工程往往被划分成许多子工程，我们把这些子工程称作活动(activity)。在整个工程中，有些子工程(活动)必须在其它有关子工程完成之后才能开始，也就是说，一个子工程的开始是以它的所有前序子工程的结束为先决条件的，但有些子工程没有先决条件，可以安排在任何时间开始。为了形象地反映出整个工程中各个子工程(活动)之间的先后关系，可用一个有向图来表示，图中的顶点代表活动(子工程)，图中的有向边代表活动的先后关系，即有向边的起点的活动是终点活动的前序活动，只有当起点活动完成之后，其终点活动才能进行。通常，我们把这种顶点表示活动、边表示活动间先后关系的有向图称做顶点活动网(Activity On Vertex network)，简称AOV网。一个AOV网应该是一个有向无环图，即不应该带有回路，因为若带有回路，则回路上的所有活动都无法进行。如图3-6是一个具有三个顶点的回路，由<A,B>边可得B活动必须在A活动之后，由<B,C>边可得C活动必须在B活动之后，所以推出C活动必然在A活动之后，但由<C,A>边可得C活动必须在A活动之前，从而出现矛盾，使每一项活动都无法进行。这种情况若在程序中出现，则称为死锁或死循环，是必须避免的。在AOV网中，若不存在回路，则所有活动可排列成一个线性序列，使得每个活动的所有前驱活动都排在该活动的前面，我们把此序列叫做拓扑序列(Topological order)，由AOV网构造拓扑序列的过程叫做拓扑排序(Topological sort)。AOV网的拓扑序列不是唯一的，满足上述定义的任一线性序列都称作它的拓扑序列。由AOV网构造出拓扑序列的实际意义是：如果按照拓扑序列中的顶点次序，在开始每一项活动时，能够保证它的所有前驱活动都已完成，从而使整个工程顺序进行，不会出现冲突的情况。（以上来源百度）简单说，就是把图的先后顺序排序，由先到后依次排序，其中不能存在环，最终得到的拓扑序列其实就是完成所有事，求中间所做事的顺序。

执行步骤

由AOV网构造拓扑序列的拓扑排序算法主要是循环执行以下两步，直到不存在入度为0的顶点为止。 (1) 选择一个入度为0的顶点并输出之； (2) 从网中删除此顶点及所有出边。

循环结束后，若输出的顶点数小于网中的顶点数，则输出“有回路”信息，否则输出的顶点序列就是一种拓扑序列。

图解

1：删除1或2输出

2：删除2或3以及对应边

3：删除3或者4以及对应边

4：重复以上规则步骤

代码实现

我这里用的是图的邻接表实现的，只不过在原先图的基本操作上加入度次数统计的操作，再利用栈进行拓扑排序。图为：

（别问，问就是灵魂画师）目前这个图只有单个路径1 2 4 3 5 6，但是如果图中存在多条拓扑路径，那么拓扑结果不唯一。

#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#include <stdbool.h>#define MAXVEX 10typedef char VerType;//顶点值类型struct EdgeNode{int adjvex;//邻接点域，存储该顶点对应的下标int weight;//用于存储权值，对于非网图可以不需要struct EdgeNode* next;//下一个结点};struct VertexNode{int in;//入度VerType data;//值struct EdgeNode* firstedge;//邻接表头指针};struct Graph{struct VertexNode vers[MAXVEX];int numVertexes, numEdges;//顶点数和边数};/* 拓扑排序，若G没有回路，则输出拓扑排序序列并返回OK，若有回路返回ERROR */int TopologicalSort(struct Graph* G){struct EdgeNode* e;int i, k, gettop;int top = 0;//栈指针下标int count = 0;//统计输出顶点个数int* stack;//存储入度为0的顶点stack = (int*)malloc(G->numVertexes * sizeof(int));for(i = 0;i<G->numVertexes;i++)//遍历所有结点if(G->vers[i].in == 0)stack[++top] = i;//将入度为0的顶点入栈while(top != 0){gettop = stack[top--];//出栈printf('%c ',G->vers[gettop].data);count++;//统计输出顶点数for(e=G->vers[gettop].firstedge; e; e = e->next){//弧表遍历k = e->adjvex;if(!(--G->vers[k].in))//将k号顶点邻接点的入度减1stack[++top] = k;//若为0则入栈，以便下次循环输出}}if(count < G->numVertexes)//如果count小于顶点数，说明存在环return 0;elsereturn 1;}/* 图初始化 */void CreateGraph(struct Graph* G){int i, m, n;printf('输入顶点数和边数：\n');scanf('%d %d',&G->numVertexes, &G->numEdges);printf('输入顶点值：\n'); getchar();//吃掉回车for(i=0;i<G->numVertexes;i++){//getchar();//吃掉回车G->vers[i].data=getchar();getchar();//scanf('%c',&G->vers[i].data);}//初始化图头结点指针和入度值for(i=0;i<G->numVertexes;i++){G->vers[i].firstedge = NULL;G->vers[i].in = 0;//入度为0}printf('输入边：\n');for(i=0;i<G->numEdges;i++){scanf('%d %d',&m, &n);struct EdgeNode *newNode = (struct EdgeNode*)malloc(sizeof(struct EdgeNode));newNode->next = G->vers[m].firstedge == NULL ? NULL : G->vers[m].firstedge;newNode->adjvex = n;G->vers[m].firstedge = newNode;G->vers[n].in++;//入度+1}}int main(){struct Graph *G=(struct Graph*)malloc(sizeof(struct Graph)) ;CreateGraph(G);if(TopologicalSort(G)){printf('拓扑排序完成！\n');}else{printf('图存在环');}return 0;}复制代码

结果如图：

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拓扑排序简单实现(C语言)

拓扑排序

预备知识

执行步骤

图解

代码实现

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