清‧项名达《下学葊算书》勾股“配方术”之一6
清‧项名达《下学葊算书》勾股“配方术”之一/6
上传书斋名：潇湘馆112 Xiāo Xiāng Guǎn 112
何世强 Ho Sai Keung
提要：本文取自清‧项名达着《下学葊算书一》之勾股第六术，主要介绍该书之勾股形之三边算法之不同情况。本文有四题，而此四题之解法皆源自同一模式，故只须要明白其一，其余则可解也。
关键词：长方积 长阔较 长阔和 弦和和
以下各题皆取材自《下学葊算书一‧勾股六术‧第六术》。笔者有文已谈及类似题目，名为〈《御制数理精蕴》勾股法之“勾股弦总和较相求法”〉，此文之解题法依《御制数理精蕴》﹝简称为《精蕴》﹞，《精蕴》之解题法迂回，本文之法较直接。
项名达在其《下学葊算书》中亦有提出诸题之解法，但其法亦“非直接”。所谓“非直接”其实乃现代观点，因笔者以现代公式解“一元二次方程式”求未知数，比项名达之法稍快。
注意本文有四题，而此四题之解法皆源自同一模式，故只须要明白其一，其余则庖丁解牛，可迎刃而解也。
项名达各题之题解要点为将各项安排成一“完全平方”。经开方后再作适当之加减，即可得各边之长，其解法亦非常精辟。清代数学未算发达，习之者寥寥，故项名达所言之各题解法未必为当时人所明白。
第六术
〈第一题〉
有股弦较、有弦和和，求勾、股、弦。
解：
题意指有一直角三角形，已知其股弦较﹝股与弦之差﹞，又知其勾股弦之总和，求勾、股与弦之长。以下为弦和和之定义：
已知弦 = z，和指勾 + 股 = x + y。所以弦和和 = (x+ y) + z = x + y + z。
注意勾股定理： z2 = x2+ y2。下左图为一般之直角三角形图﹝右图为验证数字﹞：
在在本题及以下各题中，x、y、z为直角三角形三边，为未知数，其他字母为已知数。若：
股弦较z – y = p-------------------------------------------------------- (1)
弦和和x + y + z = t-----------------------------------------------------(2)
(1) × (2) 得(z – y)(x+ z + y) = x(z – y) + z2 – y2 = tp-------------- (3)
从 (3) 可得xp + z2 – y2 = tp，得：
x2 + xp – tp = 0﹝以勾股定理化简﹞。
依公式解x 得：
x =
﹝取正号，古时以“带纵较数开方法”﹞。
从 (2) 可得 z + y = t – x ，得：
z + y = t –
=
-------------------(4)
因为z – y = p------------------------------------------------------------- (1)
从以上 (4) 与(1) 两式可知z =
[
+ p]
=
。
y =
[
– p]
=
。
今以以下之勾股形验证：设一勾股形 x = 8，y =15，z = 17，若 z – y = 2 及x + y + z = 40，三边长为未知数，则：
以 p = 2 及 t = 40 代入以上诸式，可得：
x =
=
=
=
= 8。
﹝x2 + xp – tp = 0 即 x2 + 2x – 80 = 0，可以以“带纵较数开方法”求 x。﹞
y =
=
=
=
= 15。
z =
=
=
=
= 17。
与预设之答案合。
《下学葊算书》曰：
法：以股弦较、弦和和相乘为长方积，以股弦较为长阔较，用带纵较数开方算之。四因积，与长阔较自乘相加，开平方得长阔和。和较相加折半为弦较较，相减折半为勾。弦较较弦和和相减折半为股，股加股弦较为弦。
以上引文之“以股弦较、弦和和相乘为长方积”见上文式(3)。“用带纵较数开方算之”应指上文之求 x 步骤。注意以下步骤：
以股弦较、弦和和相乘为长方积，即
(z – y)(x + z + y) = x(z – y) + z2 – y2 = tp。左方是为“长方积”。
四因积，因即乘，即乘以 4 得 4x(z – y) + 4(z2 – y2) = 4xz – 4xy+ 4x2 =4tp。
长阔较自乘，即 (z – y)2 = z2 – 2zy+ y2 = p2。
相加，4xz – 4xy + 4x2 + z2 – 2zy+ y2 = (z – y + 2x)2 = 4tp+ p2。
开平方得长阔和，即 z –y + 2x = √(4tp + p2) --------------- (5)。
称上式左方为“长阔和”。
重列 z – y = p-------------------------------------------------------- (1)
相减折半为勾 即
[(5) – (1)]， 得x =
[√(4tp + p2) – p] ﹝或将 (1) 代入 (5)，移项后得 x﹞，写成 x =
。
相加折半为弦较较 即
[(5) + (1)]， 得
弦较较 z – y + x =
[√(4tp + p2) + p] ------------------------- (6)
已知弦和和 x + y +z = t -------------------------------------------(2)
弦较较弦和和相减折半为股，即
[(2) – (6)]， 得
y =
{t –
[√(4tp + p2) + p]} =
。
股加股弦较为弦，即 y + z – y = z =
+ p，
即 z =
。
答案与前相同。
附录：“以股弦较为长阔较”即z – y ，又以 z – y + 2x 为“长阔和”，故长为z – y + x，阔为 x。以下诸题，其定义相同。
〈第二题〉
有勾弦较、有弦和和，求勾、股、弦。
解：
题意指有一直角三角形，已知其勾弦较，又知其勾股弦之总和，求勾、股与弦之长。若：
勾弦较 z – x = q-------------------------------------------------------- (1)
弦和和 x + y + z = t-----------------------------------------------------(2)
(1) × (2) 得(z – x)(z + x + y) = y(z – x) + z2 – x2 = tq------------ (3)
从 (3) 可得yq + z2 – x2= tq
yq + y2 = tq
y2 + yq – tq = 0
y =
﹝以公式解，取正号﹞。
因为x + y + z = t
所以z + x = t – y= t –
。
又因为z – x = q
从以上两式可知z =
[ t–
+ q]
=
。
x =
[ t –
– q]
=
。
设一勾股形x = 8，y =15，z = 17，若 z – y = 2 及x + y + z = 40，三边长为未知数，则：
以 q = 9 及 t = 40 代入以上诸式，可得：
x =
=
=
=
=
= 8。
y =
=
=
=
= 15。
z =
=
=
=
= 17。
与预设之答案合。
本题之《下学葊算书》算法与前题相若，只是易股为勾。
《下学葊算书》曰：
法：以勾弦较、弦和和相乘为长方积，以勾弦较为长阔较，用带纵较数开方算之。四因积，与长阔较自乘相加，开平方得长阔和。和较相加折半为弦较和，相减折半为股。弦较和弦和和相减折半为勾，勾加勾弦较为弦。
注意以下步骤：
以勾弦较、弦和和相乘为长方积，即
(z – x)(z + x + y) = y(z – x) + z2 – x2 = tq。左方是为“长方积”。
四因积，即 4y(z – x) + 4(z2 – x2) = 4yq + 4y2 =4tq。
长阔较自乘，即 (z – x)2 = z2 – 2zx+ x2 = q2。
相加，4yz – 4xy + 4y2 + z2 – 2zx+ x2 = (z – x + 2y)2 = 4tq+ q2。
开平方得长阔和，即 z –x + 2y = √(4tq + q2) -------- (5)。
已知 z – x = q-------------------------------------------------- (1)
相减折半为股 即
[(5) – (1)]， 得y =
[√(4tq + q2) – q]，
写成 y =
。
相加折半为弦较和 即
[(5) + (1)]， 得
弦较和 z – x + y =
[√(4tq + q2) + q] ------------------- (6)
因为弦和和 x + y +z = t ----------------------------- --------(2)
弦较和弦和和相减折半为勾，即
[(2) – (6)]， 得
x =
{t –
[√(4tq + q2) + q]} =
。
勾加勾弦较为弦，即 x + z – x = z =
+ q
即 z =
。
答案与前相同。
〈第三题〉
有股弦较、有弦较和，求勾、股、弦。
解：
题意指有一直角三角形，已知其股弦较，又知其弦较和，求勾、股与弦之长。以下为弦较和之定义：
弦 = z，较指股 – 勾 = y– x。所以弦较和 = (y – x) + z = y – x+ z。若：
股弦较z – y = p-------------------------------------------------------- (1)
弦较和y – x + z= q -----------------------------------------------------(2)
(1) × (2) 得(z – y)(z + y – x) = – x(z – y) + z2 – y2 = pq----------- (3)
从 (3) 可得 –xp + z2 – y2 = pq
x2 – xp – pq = 0﹝以勾股定理化简﹞
依公式解得：
x =
﹝取正号﹞。
从 (2) 可得 z + y = q + x ，得：
z + y = q +
=
------------------(4)
z – y = p --------------------------------------------------------------------- (1)
从以上两式可知z =
[
+ p]
=
。
y =
[
– p]
=
。
设一勾股形x = 8，y =15，z = 17，若 z – y = 2 及y – x + z = 24，三边长为未知数，则：
以 p = 2 及 q = 24 代入以上诸式，可得：
x =
=
=
=
= 8。
y =
=
=
=
= 15。
z =
=
=
=
= 17。
与预设之答案合。
《下学葊算书》曰：
法：以股弦较、弦较和相乘为长方积，以股弦较为长阔较，用带纵较数开方算之。四因积，与长阔较自乘相加，开平方得长阔和。和较相减折半为弦和较，相加折半为勾。弦和较弦较和相加折半为股，股加股弦较为弦。
注意以下步骤：
以股弦较、弦较和相乘为长方积，即
(z –y)(z + y – x) = – x(z – y) + z2– y2 = pq
四因积，即 –4x(z – y) + 4(z2 – y2) = – 4xz + 4xy+ 4x2 = 4pq
与长阔较自乘，即 (z – y)2 = z2 – 2zy+ y2 = p2
相加，– 4xz + 4xy + 4x2 + z2 – 2zy+ y2 = (y – z + 2x)2 = 4pq+ p2
开平方得长阔和，即 y –z + 2x = √(4pq + p2) ----------- (5)。
已知 z – y = p----------------------------------------------------- (1)
相加折半为勾 即
[(5) + (1)]， 得x =
[√(4pq + p2) + p]，
写成 x =
。
相减折半为弦和较 即
[(5) – (1)]，得
弦和较 y – z + x =
[√(4pq + p2) – p] ------------------------- (6)
弦较和y – x + z = q--------------------------------------------------(2)
弦和较弦较和相加折半为股，即
[(2) + (6)]，得
y =
{q +
[√(4pq + p2) – p]} =
。
股加股弦较为弦，即 y + z – y = z =
+ p。
即 z =
。
答案与前相同。
〈第四题〉
有勾弦较、有弦较较，求勾、股、弦。
解：
题意指有一直角三角形，已知其勾弦较，又知其弦较较，求勾、股与弦之长。以下为弦较较之定义：
弦 = z，较指股 – 勾 = y– x。所以弦较较 = z – (y – x) = z – y+ x。
若：
勾弦较 z – x = q-------------------------------------------------------- (1)
弦较较 z + x– y = v ----------------------------------------------------(2)
(1) × (2) 得(z – x)(z + x – y) = – y(z – x) + z2 – x2 = vq---------- (3)
从 (3) 可得– yq + z2 – x2 = vq
– yq + y2= vq
y2 – yq – vq = 0
y =
﹝以公式解，取正号﹞。
因为x – y + z = v
所以z + x = v + y= v +
。
又因为z – x = q
从以上两式可知z =
[ v+
+ q]
=
。
x =
[ v +
– q]
=
。
设一勾股形x = 8，y =15，z = 17，若 z – x = 9 及x – y + z = 10，三边长为未知数，则：
以q = 9 及 v = 10 代入以上诸式，可得：
x =
=
=
=
=
= 8。
y =
=
=
=
=
= 15。
z =
=
=
=
= 17。
与预设之答案合。
《下学葊算书》曰：
法：以勾弦较、弦较较相乘为长方积，以勾弦较为长阔较，用带纵较数开方算之。四因积，与长阔较自乘相加，开平方得长阔和。和较相减折半为弦和较，相加折半为股。弦和较弦较较相加折半为勾，勾加勾弦较为弦。
注意以下步骤：
勾弦较、弦较较相乘为长方积，即 (z – x)(z + x – y) = – y(z – x) + z2 – x2 = vq
左方是为“长方积”。
四因积，即 – 4y(z – x) + 4(z2 – x2) = – 4yq + 4y2 =4vq。
长阔较自乘，即 (z – x)2 = z2 – 2zx+ x2 = q2。
相加，– 4yz + 4xy + 4y2 +z2 – 2zx + x2 = (x – z+ 2y)2 = 4vq + q2。
开平方得长阔和，即 x –z + 2y = √(4vq + q2) -------- (5)。
因为 z – x = q------------------------------------------------- (1)
相加折半为股 即
[(5) + (1)]， 得y =
[√(4vq + q2) + q]，
写成 y =
。
相减折半为弦和较 即
[(5) – (1)]，得
弦和较 x – z + y =
[√(4vq + q2) – q] ---------------------- (6)
因为弦较较 z – y + x = v----------------------------------------(2)
弦和较弦较较相加折半为勾，即
[(2) + (6)]， 得
x =
{v +
[√(4vq + q2) – q]} =
。
勾加勾弦较为弦，即 x +z – x = z=
+ q
即 z =
。
答案与前相同。
以下为《下学葊算书》原文：