当我第一次听说存在着面积有限的无限形状时，我感到相当震惊！我认为这是一个悖论。然而，当深入了解后，它不仅不是一个悖论，而且事实上，许多问题只有通过使用这些 "无限的形状 "才能解决。

在学习微积分这一门课程时，我们首先了解的是极限的概念。在数学中，我们用极限来定义一些数学对象，如数列、导数和积分等。

极限

极限理论是微积分的核心概念。就像加法对算术的重要性和可除性对数论的重要性一样，由于极限在积分的定义中起着重要作用，特别是在反常积分中，我认为有必要回顾一下什么是极限。

一个实数数列接近一个数字L的极限，仅仅意味着这个数列会任意地接近L。无论有多接近L（即你选一个数字r，使|L-r|非常接近0），极限会在某一点上都会变得更接近。

这是一个非正式的描述。极限正式的定义在各种高数教科书和网络上都能找到，这里就不写出了。这里有一些著名的极限例子。

积分

函数f从a到b的积分只是函数f的图形与x轴之间从实数a到实数b的有向面积。我们所说的有向面积是指：位于x轴以下的区域，即f(x)<0时，要从位于x轴以上的区域中减去。下面的图片就是对此的说明。

我们计算一个给定积分的方法也是通过使用极限。请注意，一个函数的曲线下的面积可以用一个细长方形的总和来近似。而通过将积分区间分成越来越细的矩形，我们就会越来越接近曲线下的准确面积。这可以通过下面的GIF图来体现。

在极限情况下，当矩形的数量接近无穷大时，这个近似值就变得精确了，我们把这个极限定义为积分。

更准确地说，这种类型的积分被称为黎曼积分，是以伟大的数学家波恩哈德·黎曼（Bernhard Riemann）的名字命名的。

反常积分基本上是黎曼积分，在这个积分区间的两个端点上函数都没有定义。也就是说，如果f是一个定义在区间[a, b）上的函数，但对实数b没有定义，并且如果存在以下极限：

则I被称为反常积分，当区间为[a, ∞）时，这也成立。下面是反常积分的一些应用。

例1

例如，假设f(x)=e^(-x)，那么我们可以计算出以下的积分：

也就是说，这个函数的曲线下的面积，尽管是无界的，但实际上是有限的。

例2

正态分布涉及到一个可以在整条实线上取值的随机变量，由于它是一个概率分布，我们有：

其中σ是标准差，μ是平均值。这个积分也是一个反常积分，有时我们想知道，例如x≤c的概率是多少。为了计算这个问题，我们需要计算下面这个反常积分：

例3

伽马函数是数学中最重要的函数之一。它被用于实分析、复分析、数论、物理学和许多其他学科中。

这个函数本身是由以下的反常积分定义的：

毫无疑问，傅里叶变换是科学中应用最广泛的数学工具之一。该工具本身属于积分变换和谐波分析的范畴，它有许多著名的“变种”，例如拉普拉斯变换。

变换是某个函数空间上的一个算子。也就是说，它接受一个函数作为输入，并返回一个函数作为输出。很像微分算子对函数进行微分，这个算子只适用于某些函数。

一个函数f的傅里叶变换定义如下：

因此，这需要使用两次反常积分的极限定义。