数学方法 | 向量法（“数学思想方法导引”第27讲/共36讲）

 第27讲 摘要：向量法指把向量作为工具研究与求解有关数学问题的方法。在解几何题时，向量法把点、线、面等几何元素直接归结为向量，通过向量运算来研究几何关系。向量法用计算代替演绎，体现了机械化思想。

把向量法与综合法、坐标法、分析法在几何解题方面作比较，可以看出向量法的特点。综合法是一种非代数的研究方法，图形直观分析与逻辑论证相结合，强调对问题进行整体处理，结果也是整体的；分析法与坐标法是一种代数化的方法，强调问题要从局部到整体研究。其中坐标法利用坐标系，点与坐标直接对应，线、面与方程对应；分析法以微积分为工具，对几何元素及其关系进行讨论。向量法则是把点、线、面等几何元素直接归结为向量，通过向量运算来研究几何关系。

向量法的实施包括建立几何与向量的联系，通过向量运算，研究几何元素之间的关系，把运算结果“翻译”成几何关系。向量法的价值体现在向量法是初等数学解题的“制高点”，不但可以在代数、几何、三角问题间游刃有余，而且通过向量法可以整合初等数学的绝大部分知识，构建一个放射型知识网络。

第一，向量法整合了“数”与“形”两个维度，是数形结合解题的天然工具。第二，向量法整合了代数、几何、三角函数等内容，具有极强的诠释力。第三，向量法可以规避烦琐的分类，使解题简捷明了。向量法追求以最低的条件(代价)换取最广泛的结论，快刀斩乱麻，规避烦琐的分类。

向量知识在许多国家的中学数学教材中早就成了一个基本的教学内容。在我国全面实施新课程后，向量虽然已进入中学，但仍处于起步的阶段。向量知识、向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用，它具有代数形式和几何形式的“双重身份”，能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点。有些问题用常规方法去解决往往运算比较繁杂，不妨运用向量作形与数的转化，则可能会大大简化过程。

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