哈尔莫斯|怎样做数学研究
有谁能告诉别人怎样去做研究，怎样去创造，怎样去发现新东西？几乎肯定这是不可能的. 在很长一段时间里，我始终努力学习数学，理解数学，寻求真理，证明一个定理，解决一个问 题—现在我要努力说清楚我是怎样去做这些工作的， 整个工作过程中重要部分是脑力劳动， 那可是难以讲清楚的--但我至少可以试着讲一讲体力劳动的那一部分.
数学并非是一门演绎科学—那已是老生常谈了. 当你试图去证明一个定理时，你不仅只是罗列假设，然后开始推理，你所要做的工作应是反复试验，不断摸索，猜测. 你要想弄清楚事实真相，在这点上你做的就像实验室里的技师，只是在其精确性和信息量上有些区别罢了. 如果哲学家有胆量，他们也可能像 看技师一样地看我们.
我喜欢做研究，我想做研究，我也得做研究，我却不愿坐下来开始做研究—我是能拖则拖迟迟不肯动手. 尽管我对工作无限眷恋，我仍是不愿意着手去做它；每做一项工作都像是一场打仗格斗. 难道就没有什么事我能（或必须？） 先行干好吗？难道我就不能先将铅笔削好吗？事实上我从来不 用铅笔，但“削铅笔”已成为一切有助于延迟集中创造精力带来 的痛苦的手法的代名词. 它的意思可以是在图书馆查阅资料， 可以是整理旧笔记，甚至可以视为明天要讲的课作准备，干这些事的理由是：一旦这些事了结了，我就真正能做到一心一意而不受干扰了.
当卡米查埃 (Carmichael) 抱怨说他当研究生院主任每周可用于 研究工作的时间不超过20小时的时候，我感到很奇怪，我现在仍 觉得很奇怪. 在我大出成果的那些年代里，我每周也许平均用20小时作全神贯注的数学思考，但大大超过20小时的情况是极少的. 这极少的例外，在我的一生中只有两三次，他们都是在我长长的 思想阶梯接近顶点时来到的. 尽管我从来未当过研究生院主任， 我似乎每天只有干三，四个小时工作的精力，这是真正的“工作”； 剩下的时间我用于写作，教书，作评论，与人交换意见，作鉴定， 作讲座，干编辑活，旅行. 一般地说，我总是想出各种办法来“削铅笔”. 每个做研究工作的人都陷入过休闲期. 在我的休闲期中， 其他的职业活动，低到并包括教教课, 成了我生活的一种借口. 是的，是的，我也许今天没有证明出任何新定理，但至少我今天将正弦定理解释得十分透彻，我没白吃一天饭.
数学家们为什么要研究? 这问题有好几个回答. 我喜爱的回答是： 有好奇心 – 我们需要知道. 这几乎等于说“因为我愿意这样 做”，我就接受这一回答 – 那也是一个好回答. 然而还有其它的 回答，它们要实在些.
我们给未来的工程师，物理学家，生物学家，心理学家，经济学家， 还有数学家教数学. 如果我们只教会他们借课本中的习题，那不等他们毕业，他们受到的教育便过时了. 即使从粗糙而世俗的工商业 观点来看，我们的学生也得准备回答未来的问题，甚至在我们课堂 上从未问过的问题. 只教他们已为人们所知的一切东西是不够的 – 他们也必须知道如何去发现尚未被发现的东西. 换句话说，他们必 须接受独立解题的训练 – 去做研究工作. 一个教师，如果他从不总是在考虑解题 — 解答他尚不知道答案的题目— 从心理上来说，他就 是不打算教他的学生们解题的本领.
做研究工作，有一点我不擅长因而也从不喜欢的是竞争. 我不太善于 抢在别人前面已获得荣誉. 我争当第一的另一办法是离开研究主流方 向去独自寻找属于我自己的一潭小而深的洄水. 我讨厌为证明一个著 名猜想而耗费大量的时间却得不到结果，所以我所干的事无非是分检 出被别人漏掉的概念和阐明富有结果的问题. 这样的事在你一生当中 不可能常做，如果那概念和那些个问题真是“正确”的，它们便会被广 泛接受，而你则很有可能在你自己的课题发展中，被更有能力和更有 眼光的人们甩在后面. 这很公平，我能受得了；这是合理的分工，当 然我希望次正规不变子空间定理是我证明的，但至少我在引入概念和 指出方法方面做过一点贡献.
不介入竞争的另一个方面就是我对强调抢时间争速度不以为然. 我问我自己，落后于最近的精美的成果一两年又有什么关系呢？一点关系 都没有，我这样对自己说，但即使对我自己来说，这样的回答有时也 不管用，对那些心里构成和我相异的人们来说，这样的回答总是错的. 当罗蒙诺索夫（Lomonosov）(关于交换紧算子的联立不变子空间) 和 斯科特 . 布朗（Scott Brown）的（关于次正规算子）消息传开时， 我激动的就像我是第二位算子理论家似的，急切的想迅速的知道详情. 然而这种破例的情形是少有的, 所以我仍然可以在我一生大部分时间 中心安理得地生活于时代之后.
回答是我写作. 我在我的书桌前坐下，提起一杆黑色的圆珠笔， 开始在一张8 1/2 x 11 见方的标准用纸上写作. 我在右上角上写 上个“1” ，然后开始：“这些笔记的目的是研究秩为1的摄动在 … 的格上的影响.”在这一自然段写完后，我在稿纸边上标上个 黑体“A”字，然后开始写 B 段，页数字和段落字构成了参考系 统，常常可以一连写上好一百页：87C 意味着87页上C 段. 我 将这些页手稿放入三环笔记夹中，在夹脊上贴上标签：逼近论， 格，积分算子等等. 如果一个研究项目获得成功，这笔记本便成 为一篇论文，但不管成功与否，这笔记本是很难扔掉的. 我常在 我的书桌旁的书架上放上几十本，我仍然希望那些未完成的笔记将继续得到新的补充，希望那些已成为文章发表的笔记以后会被 发现隐含着某种被忽视了的新思路的宝贵萌芽，而这种新思路恰 恰是为解决某一悬而未决的大问题所需要的.
我继续尽可能长时间地坐在我的书桌前 – 这可以理解为，我只要有精力， 或者只要有时间，我就这样坐在书桌前，我努力整理笔记到一个弱拍出现 为止，如一个引理的确定，或者，在最坏的情况下，一个未经过仔细研究 但明显不是没希望解答的问题被提出. 那样，我的潜意识可以投入工作了， 并且在最好的时候，在我走向办公室时，或者给一个班上课时，甚至在夜 间睡眠中，我取得意外的进展. 那捉摸不透的问题解答有时让我无法入睡， 但我似乎养成了一种愚弄我自己的办法了. 在我翻来覆去一会后，时间并 不长 – 通常仅为几分钟 – 我“解决”了那问题；那问题的证明或反例在闪 念中出现了，我心满意足了，翻了个身便睡着了. 那闪念几乎总被证明是 假的；那证明有个巨大的漏洞，或者那反例根本就不反对任何东西. 可不 管怎么说，我对那个“解”相信的时间，长的足够是我睡个好觉. 奇怪的事 情时，在夜间，在床上，在黑暗中，我从未记得我怀疑过那“思路”；我百 分之百地相信它可是件大好事. 对一些情形它甚至被证明是正确的.
我不在乎坐在钟边工作，当因为到了上课的事件或者到了除去吃饭的时间， 而我必须停止思考时，我总是高兴地将我的笔记收起来. 我也许会在下楼去教室的路上，或者在发动我的汽车，关闭我车库门时仔细思考我的问题； 但我并不因为这种打扰而生气（不像我的一些朋友们说的那样，他们讨厌 被打断思绪）. 这些都是生活的组成部分，一想到几小时候我俩 – 我的 工作和我 – 又要相聚时，我就感到很舒坦.
好的问题，好的研究问题，打哪儿来呢？它们也许来自一个隐蔽的洞穴，同在那个洞穴里，作家发现了他们的小说情节， 作曲家则发现了他们的曲调 – 谁也不知道它在何方，甚至在 偶然之中闯进一辆此后，也记不清它的位置. 有一点是肯定 的：好的问题不是来自于做推广的模糊欲念. 几乎正相反的 说法倒是真的：所有大数学问题的根源都是特例，是具体的 例子. 在数学中常见到的一个似乎具有很大普遍性的概念实 质上与一个小的具体的特例是一样的. 通常，正是这个特例 首次揭示了普遍性. 阐述“在实质上是一样”的一个精确明晰 的方法就如同一个定理表述. 关于线性泛函的黎兹（Riesz） 定理就很典型. 固定一个在内积中的向量就定义了一个有界线性泛函；一个有界线性泛函的抽象概念表面上看来具有很 大的概括性；事实上，每个抽象概念都是以具体特定的方式 产生出来的，那定理也是.
这是我和狄多涅（Dieudonne）似乎各执己见的许多论题中的 一个. 在马里兰，我曾做过一次学术报告，那正好也是狄多涅 访问那里的许多次中的一次. 那次报告的主题是正逼近. 我那 次选定的问题是：已知一希尔伯特 (Hilbert) 空间上的任意 算子 A, 求一个正（非负半定的）算子 P 极小化 ||A-P||. 我很幸运：结果发现有一个小的具体的特例，它包含了一切概 念，一切困难，一切为理解和克服它们所需要的步骤. 我使我 的报告紧紧围绕那个特例，由矩阵 /0 1\ \0 0/ 定义的 C^2 上的算子，我当时感到很自豪: 我认为我 成功地讲清了一个很好的问题及其令人满意的解，却没有因此而陷入与此无关的分析的术语陈式之中去. 狄多涅当时表现的 礼貌且友好，但事后显然表现出不屑一顾的态度；我记不清他的原话了，但大意上，他祝贺我的滑稽表演. 他对我的报告的 印象似乎是“娱乐数学”. 这在他的词汇中是个讥笑的字眼；他 认为我的报告趣味有余，但是做作且轻浮. 我认为（现在还继 续认为）问题远不只如此. 我俩评价的相异是我们观点上的差 别造成的. 我认为对于狄多涅来说，重要的是那个强大的一般 性定理，从这一定理你很容易推出所有你需要的特例来；而对 于我来说，最伟大的前进步骤是，很能说明问题的中心例子， 从这一例子中我们很容易搞清楚围在该例子周围的所有带普遍 性的东西.
作为数学家，我最强的能力便是能看到两个事物在什么时候 是“相同的”. 例如，当我对大卫 . 伯格（David Berg）定 理（正规等于对角加上紧致）苦苦思索时，我注意到它的困境很像那个证明：每个紧统 (Compactam) 是康托 (Cantor) 集的一个连续象. 从那时起用不着很大的灵感就可使用经典 的表述而不用它的证明了. 结果是能取得伯格结果的一种意 思明白的新方法. 这样的例子我还可以举出很多. 一些最突 出的例子发生在对偶理论中. 例如：紧阿贝尔群的研究与傅 里叶 (Fourier) 级数的研究是一样的，正如布尔代数的研 究与不连通的紧豪斯道夫 (Hausdorff) 空间的研究是一样 的，其它的例子，不是对偶那一类的有：逐次逼近的经典方 法与巴拿赫不动点定理是一样的，概率论与测度论也是一样 的.
这样一联系起来看问题，数学便清楚了；这样看问题去掉了 表象，揭示了实质. 他推进了数学的发展了吗？难道那些伟 大的新思想仅仅是看清了两个东西是一样的而已吗？我常常 这样想 – 但我并不是总有把握的.
说到这里为止，我是不是已经回答了怎样做研究这个问题呢？