聊聊物理中的抛物线

抛物线是什么？它真的就是抛体的轨迹吗？本文简单的介绍下抛物线的数学背景，并重点讲讲它在物理中的应用。

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抛体运动的轨迹

抛物线，字面意思很简单：抛出一个物体，它在空中划过的一条曲线。学过高中物理的人都知道，抛体在水平和竖直方向分别作匀速运动和匀加速运动。

设其初速度  斜向上，与水平方向夹角为  ，则

消掉时间  得它的图像与形如 的函数在  时的图像一致。因此，人们将具有(1)式形式的二次函数的曲线叫做抛物线。

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抛物线的定义

作为一种平面曲线，抛物线有多种定义方式。

第一种，也是高中数学中所讲的定义方式，涉及一条直线（准线）和一个不在该直线上的点（焦点），在它们所决定的平面内，与准线和焦点等距的点的轨迹就是一条抛物线。

另一种定义，与圆锥有关，因此得名圆锥曲线。作为圆锥曲线的一种，它具有与椭圆（包括圆）和双曲线同样的来源，即某种平面与两个对顶圆锥的表面的交线。

如下图所示，当平面与圆锥的任意母线平行时，它只与其中一个圆锥面相交，交线即为抛物线。

下面给出一个简单的推导。

设有圆锥曲面

考虑经过原点的任意平面 联立二式得二者交线的方程为 根据  取值与1的关系，则得到三种不同的圆锥曲线，即

如果认为  是连续变化的，也就是上面动画中的那个面连续转动，那么可认为这三种圆锥曲线之间也是依次趋近的。

例如，当旋转平面与圆锥的母线趋于平行时，交线可以理解为一个长轴（焦点）逐渐延伸（移动）到无限长（远处）的椭圆，也就是抛物线。换句话说，当椭圆的长轴非常长时，沿着长轴的一端的局部与抛物线比较接近。

上面这种定义方式，源自古希腊一位名叫阿波罗尼奥斯的数学家。

关于古希腊的数学家，大家可能都知道毕达哥拉斯，但却没听说这位数学家。这里顺便说一下，阿波罗尼奥斯公认是古希腊最伟大的三位数学家之一，另外两位是欧几里德和阿基米德。

Apollonius

在他的著作《圆锥曲线论》中，他将圆锥曲线的性质几乎网罗殆尽，后人在将近两千年的时间内没有插足的余地，一直等到17世纪，法国的帕斯卡和笛卡尔才得以获得新的突破。

数学上定义圆锥曲线上一点到焦点和准线的距离的比值  为偏心率。显然，上述第一种定义就是按照  定义抛物线的，若   小于或大于1，则分别定义椭圆和双曲线。而第二种定义中，  正好与  对应，这两种定义本质上是一致的。

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抛物线的标准方程

如上(1)式所示，  关于  的一元二次函数就代表  平面内的一条抛物线，它具有一条对称轴，当  为正（负），则开口向上（下），其最低（高）点坐标为

虽然这种一元二次函数表述的抛物线方程简单实用，但它并不是按照定义得到的标准形式的抛物线方程。

若按照抛物线的准线和焦点的定义方式，设准线到焦点的距离为  ，以焦点到准线的垂线的中点为原点，沿平行和垂直于准线的方向画两个轴，根据对两轴与  和  的不同对应关系，可以得到4种标准方程如下 通过坐标平移，可以对(1)式形式和标准形式的抛物线方程相互转换。例如(1)式可化为 与标准形式  对比可知，只要将抛物线的顶点作为新坐标系的原点，简单的进行坐标平移即可得到标准方程。

虽然(1)式并不是标准方程，但是它的形式给出了数学中最简单的非线性关系，我们知道  是线性关系，对单个自变量来说，加一个二次项，就成为非线性的了，因此抛物线是非线性科学中最原始的数学模型。

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第一个小试牛刀的例子

好了，抛物线的定义和函数形式都介绍完了。现在来看一道挺有意思的运动学题。

设某一宽为  的河，河水流速为  ，小船在静水中的速度也为  ，设小船自左岸出发到右岸，从一开始到抵达对岸的过程中，小船船头始终指向正对岸的一个确定的点  ，求船的轨迹。

如上图所示，水流的速度沿  轴负方向，  和  分别表示水的速度和船在静水中的速度，  始终指向  点，  为船相对岸的速度。

设船在河中某处，此时它与  点的连线和  轴夹角为  ，则此时船相对岸的速度的正交分量为设下游有一座桥，  点到此桥的距离为  ，则小船在任意时刻与桥的距离为 将速度  投影到沿船头的方向上，得到船在此方向的速度 故船在任意时刻到  点的距离为 在本题中由于    ，故  ，这正好符合抛物线的定义。桥的位置为抛物线的准线，  点为焦点。小船就沿着该抛物线航行，以目的地为原点， 该抛物线的函数表达式为

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抛物线的两个性质

抛物线的性质非常丰富，上面提到的阿波罗尼奥斯早已对其深入挖掘过了，我就不一一列举了，这里只说说其中两个性质。

性质1. 抛物线都是几何相似的，也就是说，不同的抛物线总可以通过平移和缩放而彼此重合。

这看起来似乎有点违反直觉，但事实的确如此！只要两个函数开口方向一致，你总可以将其中一个适当缩放而与另一个重合。简单的证明如下。

设有两个抛物线，分别在坐标系  和 再将  中的抛物线绕原点逆时针转  ，最后再对其实施位似变换，即令其  和  坐标都缩放为原来的  ，与  ，则对应的光程分别为

由抛物线定义，抛物线上任一点到准线的距离等于该点的焦半径，故  。

因此，从焦点出发的光线经抛物线反射后必定平行于对称轴。而根据光路可逆性，平行于对称轴的光线经抛物线反射后也必定经过焦点。命题得证。

据此，我们自然想到，若按照抛物线的形状做成一个反射面，那岂不是可以达到会聚光线的作用？

是的，这种具有抛物线形状的曲面就是旋转抛物面。它是将抛物线绕其对称轴旋转时形成的一种椭圆抛物面，由于垂直于轴的截面是圆形，因此又称旋转抛物面。例如函数 就表示 抛物线  绕  轴旋转而形成的抛物面。

有了旋转抛物面，上述得到的结论可表述为：抛物面能会聚平行于对称轴的光到其焦点，而处于焦点光源的光经抛物面反射后，成为平行光射出。

这里有一个细节问题，由于任一点处的入射光和法线决定的平面，即入射面，总是与经过该点的抛物线共面，因此光不会反射到其他方向，而总是会聚到焦点，如下图所示。

如果根据抛物面做一个反光锅，将其正对着太阳放置，那就可以产生下面这种效果了。

讲到这里，可能有的人觉得很奇怪，既然抛物面具有如此优越的聚光性能，为什么光学中总是讲球面镜？而不是抛物面镜？难道是球面镜具有更好的聚光性？

首先指出的是，球面镜并不具有抛物面那样的聚光性。因为，我们可以证明，能实现聚光的任何曲面必定是抛物面。

如上图所示，设有任意两条平行于  轴的光线  和  ，当存在时，若一定有，就证明上述结论。

简单证明如下。

虽然抛物面有极好的聚光性，但它有两个弱点，一方面，抛物面镜加工的难度要高于球面镜。另一方面，抛物面只能会聚平行于轴线的光，对于平行光的方向不断变化的情形，需要不断调整抛物面的方向。

对于球面镜，虽然聚光性的确不那么好，但是将光限制在近轴范围，通过多次反射镜的作用，也能得到比较好的效果。

讲到这里，读者应该基本明白为什么号称中国天眼，建造于中国贵州的射电望远镜FAST采用球面而非抛物面了，那口500m直径的大锅怎么挪得动啊？实在是太大了，无法频繁调整方向。

不过，若会聚的不是反射光，而是折射光，那什么曲面才是理想的呢？答案是一种名为笛卡尔卵形面的4次曲面，但同样存在加工极其困难的问题，实际意义不大。因此，折射光成像主要还是靠球面透镜。

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万有引力与抛物线

我们再回头看牛顿力学中的抛物线。正如第1节所讲，在重力场中，抛体的轨迹的函数是一个二次函数，正是基于这一原因，我们将(1)式形式的函数对应的曲线称之为抛物线。

但问题是，真实的引力场并不是均匀的，如果不考虑地球自转的影响，抛体只受地球的引力场作用，它类似点电荷的电场，具有球对称性。

如果精确的考虑这种情况，一个做大范围飞翔（小范围的引力场的不均匀性可以忽略）的抛体的轨迹还是抛物线吗？

我们知道，与椭圆不同，抛物线是无界的，因此，它所描绘的运动范围是无限大的。换句话说，一个作抛物线运动的物体，如果不碰到障碍物被迫停下来，它将运动到无穷远处！

可是，根据能量守恒定律，上述结论明显有问题。考虑地球上一平抛的物体  ，若初速度  不超过第二宇宙速度，它的初始能量 必然是一个负值，假设它的轨迹是抛物线，且它能不受阻碍的飞到无限远处某点。则此时，它的势能趋近于零，而动能不可能为负，因此总的机械能应该不小于零。这显然违反了能量守恒定律。

因此，上述问题的答案是否定的！在万有引力这种平方反比有心力场中，低速飞行的抛体的轨迹不可能是抛物线。

那么，这轨迹到底是什么呢？

要严格求解抛体运动轨迹，一般借助能量守恒和角动量守恒对应的运动积分来计算，得到其轨迹是圆锥曲线。此即著名的开普勒问题，这里只给出一个简短的过程。

抛体所受力沿地球径向，力矩为零，故抛体对地球中心角动量守恒，因此抛体必将在一平面内运动。采用极坐标系描述（只需  和   ），抛体动量和能量分别为 其中 由(2)得

由(3)得 将此二式相除并分离变量积分得 定义符号 代入  并对(4)积分，设  ，可得 此即圆锥曲线的极坐标方程，  和  分别为曲线的正焦弦和偏心率。根据上面对  的定义可知，万有引力场中的抛体可能有如下三种运动轨迹

如下图所示，红、绿和蓝三种颜色的曲线分别对应椭圆、抛物线和双曲线三种开普勒轨道。

现在可回答前面的问题了：低速抛体，若不受阻碍，其轨迹是一个椭圆！

换句话说，我随手丢出的一个石头，要不是这该死的地面将它挡住，它将一直飞下去，绕过一个超级长超级瘪的椭圆，许久之后，它将又从我的一侧的地面重新飞上来。

慢着！咋回事，抛物线呢？难道真没抛物线的事儿了？

那倒不是，比如，若你以第二宇宙速度（约11.2 km/s）丢出一个石头，它将做抛物线运动，从此一去不复返。

但对一般的抛体，严格来讲，它的运动轨迹不是抛物线，而是椭圆的一部分。

换句话说，如果你认为“抛物线”三字指的是形如(1)式的函数所代表的曲线，那么抛体的运动轨迹不是抛物线，而是更接近椭圆。

只不过，抛体那原本狭长的椭圆轨迹上的一部分，几乎与抛物线并无多大差别，如上图所示。正如前面讲圆锥曲线的定义时提到的，抛物线可以看作是一个长轴非常长的椭圆沿长轴一端的局部近似。

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地球自转对抛体的影响

若考虑地球自转，则对抛体的运动轨迹有何影响？

要回答这个问题，首先要明确你在哪里观察，也就是你的参考系是什么？

如果你在地心观察，那么轨迹依旧如上结论那样。

但若你在地面观察，因为地面是一个非惯性系，抛体在运动的过程中受到科里奥利力的作用，具体是北半球物体将向右边偏转，南半球相反。

因此，若抛体在空中较长时间的飞行，其轨迹对地面观察者来说，并不是平面曲线，而是像傅科摆那样，转了一个角度，形成空间曲线。

按上所讲，真实的抛体运动其实并非100%的完美抛物线，包括两方面的“破坏”因素：一、根据平方反比有心力的规律，小于第二宇宙速度的抛体的真实轨迹是椭圆；二、地面参考系是转动参考系，运动物体所受的科里奥利力会导致抛物线略微发生偏转，成为空间曲线。

但是，这两方面的影响其实非常非常小，只要抛体的运动范围不是很大，且时间不是很长，几乎看不出它的轨迹与完美抛物线的区别。因此，我们大可放心的使用抛物线来描述地球上的抛体运动。

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抛物线飞行

目前，地球上，人类能够体验的最大规模的抛物线运动是什么呢？我想应该是飞机的抛物线飞行，一种令人神往的太空娱乐项目，为旅客提供失重飞行体验。

我们知道，只要你处于地球表面附近，你一定会受到重力的，这种力是无法失去的。因此失重是指另外一个意思：你的重力感失去了。例如，你站立的地面不再需要支撑你了，你感觉脚下轻飘飘的。

造成这种效果的方法是，你和你脚下的地面一起具有与重力加速度完全一致的加速度，这样你的重力全部用来提供加速度了，因此不再需要其他的力来平衡重力了，你失去了重力感。

所谓失重飞行，也叫零重力飞行，是指飞机在飞行时，只提供抵抗空气阻力的动力，也就是说，飞机只受重力作用，它带着乘客一起做自由落体运动，加速度与重力加速度一致。

友情提示一下，我这里所说的“自由落体”可能与有些同学心目中的“自由落体”的意义稍有不同。中学物理中一般称“初速度为零的落体是自由落体”。但很多情况下，我们也称那些可忽略阻力，只受重力作用的物体为自由落体。例如斜抛运动也是一种自由落体运动。

目前，提供这种零重力飞行体验的机构主要有两家：法国太空研究中心CNES旗下的Novespace公司(官网：airzerog.com)，美国太空探险公司(Space Adventures)旗下的Zero Gravity Corporation(官网：gozerog.com)。下面简单介绍一下。

根据Novespace公司官网，他们自2015年开始，用一架型号为空客A310 Zero-G的飞机，为客人提供零重力飞行服务。这是目前世界上载客量和实验面积最大的零重力飞机。

下图给出了A310 Zero-G的单次抛物线飞行的速度、加速度和轨迹的时间安排的基本情况。

零重力飞行的时间就是自由落体的时间，按照斜抛运动可知，这个时间是由初始速度决定的，即 其中  为初速度的大小，  是速度的仰角。图中给出的值分别是685km/h和  ，计算得到的时间大约是29秒，但图上标出的是22秒，看来这一次体验真的有点猪八戒吃人生果的感觉，不过按照官网的说明，一次飞行包含30次零重力体验，还是可以让你玩个够的。

从图上可以看到，在飞机经过一段时间的加速上升后，当它已经飞到6000m的高空，速度约为820km/h时，飞机开始以  的加速度超重飞行20秒，飞机获得了  的仰角，高度达到7600m，速度为685km/h。此时飞行员只保留部分动力以对抗空气阻力，飞机进入失重状态，即自由落体运动开始了。也就是说，这一刻乘客的零重力体验就开始了，飞机作斜抛运动上升到8500m的最大高度，此时飞机的速度只有380km/h，飞机仰角消失。接着开始下降，直到俯角为  时，结束失重。此时再次进入20秒的超重飞行后，飞机进入平飞状态，为下一个零重力飞行准备。

所谓抛物线飞行，指的是飞机自进入  超重拉升开始，直到另一个  的俯冲结束的一段非平飞过程，大约有70秒的时间。由于对应的轨迹与抛物线接近，故名抛物线飞行。

但正如本文前面所讲，飞机的失重飞行的一段轨迹应该是椭圆的一段，因此很容易理解，在零重力飞行开始和结束的时刻，即仰角和俯角分别为  和  处，抛物线飞行的轨迹应该各有一个拐点(Inflection)。

正是这个原因，人们将飞机开始和结束零重力飞行的时刻分别称为injection和pull out，即“注入”和“退出”椭圆轨道的意思，非常形象。

以上是Novespace的A310 Zero-G的抛物线飞行基本情况。对美国的Zero Gravity Corporation来说，他们采用的是经过特别改装的波音727 G-FORCE ONE型号的飞机，抛物线飞行的基本情况如下图所示，情况基本类似，有兴趣可以去其官网查询。

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谐振子模型

一些复杂函数的局域极小附近，即那种凹陷之处，往往可用抛物线来做近似处理。典型的就是弹簧振子模型的应用。

设某个一维的力具有如下不规则的起伏曲线所给出的势能分布。根据力学中保守力的概念，这个力在图中标出数字的地方会出现稳定的平衡点，系统若处于这些位置，将相对比较稳定。

系统稍微偏离图中那些最低点，根据保守力与势能的关系，某点的负梯度，即图中某点的切线的斜率的相反数，就是力，显然，这些力总是迫使它回到最低点。这看起来很像我们在振动中所学的简谐振动的回复力，即 而这种弹力的势具有抛物线的形式，即 因此很自然的，我们可以采用抛物线近似代替这些曲线的凹点处的局部。也就是说说，我们总可以认为，一个复杂的曲线的极小值处对应某个频率的弹簧振子，因而对应一定频率的振动。

人们将这个想法推广到量子体系，因此，谐振子模型广泛的被使用在各种微观结构分析中。

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抛物线与非线性

非线性物理学被认为是除相对论和量子力学之外，二十世纪物理学最大的变革，虽然它依旧遵循经典决定论，但它帮助人类更深刻的认识和理解自然。

讲非线性之前，先搞清楚什么是线性，所谓线性实际上只的就是一种成正比的数量关系， 其对应的几何图形就是一条直线。也就是说，如果世界上只有线性关系，那么就不会有曲线。

而所谓非线性，简单的说，就是指一个系统，如果其输出不与其输入成正比，则它是非线性的。例如弹簧，当其位移变得很大时，胡克定律就失效，弹簧变为非线性振子。又例如单摆，仅当其角位移很小时，行为才是线性的。实际上，客观世界本来就是非线性的，线性只是一种近似。

前面提到过，如果我们在线性关系的基础上添加一个二次项，即

就构筑了最简单的非线性关系，曲线出现了！有了二次函数，我们就可以得到各种不同的非单调的起伏关系，这就是曲线。因此可以说，抛物线是构筑非线性世界的最基本元素。

非线性关系中最令人困惑、最典型的行为是混沌。它表现为一种对初值极度敏感而导致不可预测的、类似于随机性的运动行为。

虽然抛物线函数如此简单，它却也不缺席这个最典型的行为，代表者就是著名的抛物线映射，也称Logistic映射。

Logistic映射的形式为 其中  。人们发现，当  时，映射具有混沌行为，即初始值的一个极其微小的变化，得到的结果却大相径庭，如下图所示。

关于抛物线背后的非线性的奥秘，我就不扯太多了，推荐一本来自著名理论物理学家郝柏林先生的著作《从抛物线谈起——混沌动力学引论》。

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后记

抛物线，这看似简单的一种曲线，却受到大自然如此钟爱，这决不是偶然的。例如，为什么均匀重力场中的平抛运动是抛物线呢？

你也许觉得这个问题是显而易见的，但实际上，这个问题类似于：为什么旋转抛物面能会聚光线呢？这背后是一种深刻的自然规律在起作用，在数学上它叫最优化，在物理中它叫最小作用量原理，亦称哈密顿原理。

而最小作用量原理，这个曾经在历史上吸引了费马、伯努利兄弟、莱布尼兹、欧拉等众多大数学家孜孜以求的问题最终成就了物理学的一条基本原理。物理中那些著名的曲线，例如摆线，悬链线，旋转线，测地线，短程线等都因它而出。

一个有意思的故事，伯努利家族的第一号人物雅各布·伯努利为了悬链线问题浪费了整整一年都没有找到答案。和伽利略一样，他一直错误的认为悬链线应该是抛物线。而他的弟弟约翰·伯努利，也就是伯努利家族的最伟大那个伯努利的爸爸，仅仅花了一个晚上就解决了这个问题，此外他还找到了最速下降曲线。

看来，抛物线纵然如此美丽，我们却不能过分迷恋她，而是要更深入的探求那背后的决定者。