三角形内角和为什么是180°？

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铁粉可能发现一个问题：为什么老贼很少写平面几何？只是偶尔出点平面几何题？

因为要画图，我不会，我又不想学，我懒。。。

真的，很多人跟我说画图板很好用，我就是懒——虽然我竟然是个微分几何的博士。。。

不过几何里确实有很多的问题可以写。比如今天讲的这个三角形内角和是180°。

我们经常说，数学里需要发散性思维，什么是发散性思维？我对发散性思维的理解就是举一反三。今天就以三角形内角和是180°来讲一讲。

从小学我们就知道这个结论，但是都是直接告诉你这个结论，很少有老师会问你：为什么？

所以进入到平面几何的学习之后，很多学生一看三角形内角和是180°这事竟然要证明估计也是懵圈了。当然这个证明很简单，过一个顶点做对应那条边的平行线，这个结论也就证明了。

接下来的问题是：三角形内角和有没有可能不是180°？

什么？不是180°？这怎么可能！

事实上确实存在内角和不是180°的三角形。只不过构成这种三角形的线段和我们的直线段也有所不同。

既然不等于180度，那么就有两种可能：大于或者小于180°，究竟是哪种呢？

我们知道这样一个事实：地球上两点之间距离如果比较近的话，是可以近似地拉出一条线段的。但是由于地球是个球体，所以在大尺度范围内，地球之间的两点连线就要看成是一段圆弧。这个对于海边生活的人们来说是有深刻体会的——我们总是先看见船的桅杆露出一点点，然后看见帆，然后才是船，如果地球是平的，那么从一开始看见船就应该是个整体——而不是这样一点点展现在我们面前。

球面上两点之间最短的距离就是过这两点和球心的大圆上的劣弧。考虑到平面上两点之间距离最短是线段，球面上“线段”就应该是这些劣弧，而球面上的直线就是所有的大圆。

有意思的事情来了，平面上过直线外任意一点，有且只有一条直线和已知直线平行，这是欧几里得的第五公设。包括欧几里得在内的很多数学家试图去证明这条是对的，但是无果。如果把第五公设推广到球面上去，我们会发现，过直线外任一点竟然没有直线和已知直线平行！

别忘了，球面上的直线就是大圆，所以这个命题变成了球面上有一点不在给定的大圆上，不存在过这点的大圆和给定的大圆没有交点。

你仔细想想，球面上是否有两个大圆没有交点？显然不存在！

球面上既然有直线，有线段，自然有三角形。球面上任意三点之间两两连线，就是球面三角形。这样的三角形内角和就是大于180°的。

关于球面三角，在几百年前的大航海时代那是船长的必修课，到现在航海技术专业也得学这门课。虽然现代的计算机能够自动计算海上的距离和方位，但是其基本原理还是必须得掌握的。

那什么时候三角形内角和是小于180度的？联想到球面是往外鼓的，所以应该是那种往里面塌进去的曲面上的三角形的内角和才是小于180°的。

数学难就难在这些地方，看似不起眼的东西，往深了想真的容易变成精神病啊。。。当年就是那么几个数学家闲来无事，觉得欧几里得第五公设过于碍眼，就想如果不对怎么办，于是才诞生了非欧几何。

这样的发散性思维太阔怕了，这帮数学家太阔怕了。。。但是除了地球，你也没什么地方能躲。

让孩子在那些显而易见的结论地方多想想，比如去掉一个条件，或者把条件当结论结论当条件，这些都去试试看，发散性思维就比较容易培养起来了~

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