怎样讲不等式性质，更容易记忆和运用

《怎样把课讲好 大罕数学教学随笔》之第2.16节

·大罕·

不等式是高中数学的重要内容之一．不等式的性质是研究不等式的基础．解不等式、证明不等式以及不等式的运用，都离不开不等式的性质．

讲授不等式性质通常用一节课完成．怎样让这一节课给学生留下较深的印象，更容易记忆和运用，本节就研究这一问题．

首先要明确，初中数学教材对不等式的性质作过介绍：

性质一：不等式两边加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变．

性质二：不等式两边乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．

性质三：不等式两边乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．

重温初中介绍的不等式性质，有助于高中对不等式基本性质的更深入更全面的理解．

其次，建议把不等式的基本性质分为两个部分，即不等式的常规性质和技巧性质．初中讲的不等式性质当然属于常规性质．所谓常规性质，是指经常“按这些常规办事”的性质；所谓技巧性质，是指这些性质“带有某种技巧性”．要强调的是，上述举措完全是出于讲课的需要，并不是不等式性质所赋于的．

一、常规性质：

对称性：a>b⇔b

传递性：a>b,b>c⇒a>c．

同加性：a>b⇔a+c>b+c．

同乘性：a>b, c>0 ⇒ac >bc(正保向)；

　　　     a>b, c<0 ⇒ac

二、技巧性质：

同向可加：a>b,c>d⇒a+c>b+d．

双同可乘：a>b>0,c>d>0⇒ac>bd．

同正可幂：a>b >0 ⇒a^n>b^n；

　　    或 a>b>0 ⇒a^(1/n) >b^(1/n)；

特例：a>b >0 ⇒1/a<1/b.

把不等式的性质分成常规性质和技巧性质，还有另一层含义：常规性质(对称性、传递性、同加性、同乘性)可以比照等式的性质，心有灵犀一点通；而技巧性质是不等式所独有的，也是学生易错的，因此必须分开．分开了，既好讲，又好用．

第三，对于不等式性质的描述，这里用了三个字的词语(参见常规性质)和四个字的词语(同向可加、双同可乘、同正可幂)，朗朗上口，容易记忆，也就便于运用．

（2020-10-29）