《測圓海鏡》勾股形山川東﹝15﹞之五和五較說

《測圓海鏡》勾股形山川東﹝15﹞之五和五較說

上傳書齋名：瀟湘館112  Xiāo XiāngGuǎn 112

何世強 Ho Sai Keung

提要：《測圓海鏡》乃金‧李冶所撰，其書之“圓城圖式”含十四勾股形，連同原有之大勾股形共十五勾股形。此等勾股形三邊形成一系列之恆等式，本文主要談及第15勾股形山川東相關之等式。

關鍵詞：

弦、

股、

勾、山川東

《測圓海鏡》乃金‧李冶所撰，書成於 1248 年，時為南宋淳祐八年。該書卷一“圓城圖式”主要討論與十五勾股形相關之等式，本文介紹其部分等式並作出証明。

本文所引用之勾股式源自“圓城圖式”之十五勾股形，a₁、b₁、c₁ 乃最大勾股形天地乾之勾、股及弦長。故 a₁、b₁、c₁ 又稱為大勾﹝地乾﹞、大股﹝天乾﹞及大弦﹝天地﹞。

《測圓海鏡》之〈五和五較〉篇涉及一系列之勾股恆等式，所有恆等式皆與十五勾股形有關。十五勾股形中最大者為天地乾，其三邊勾股弦分別以 a₁、b₁、c₁ 表之，其餘十四勾股形三邊勾股弦則分別以 a_i、b_i、c_i 表之，其中 1 < i ≦ 15。但 a_i、b_i、c_i 均可以 a₁、b₁、c₁ 表之，此乃《測圓海鏡》之精髓。注意勾股定理成立，即  a_i² + b_i² = c_i²。

有關以 a₁、b₁、c₁ 表 a_i、b_i、c_i 之式可參閱筆者另文〈《測圓海鏡》“圓城圖式”之十二勾股弦算法〉。

以下左為“圓城圖式”右為“圓城圖式十五句股形圖”。

本文談及之勾股形乃“山川東”﹝又稱為“

”﹞，亦即以下兩圖帶紅色之二勾股形，山川東之斜邊 c₁₅ “山川”是為

弦，其直角為 15，以 15 之位置為 “東”，其勾與股分別為  a₁₅﹝川東﹞與b₁₅﹝山東﹞。注意 15 之點亦可表示“山川東”勾股形。唯“

”之義未詳。

注意以下之“山川東”勾股形之位置：

注意圓徑為 a₁ + b₁ – c₁，見上圖之東南西北圓。

以下為山川東勾股形之三事﹝三事，三邊之長也﹞：

東川勾﹝又稱

勾﹞：a₁₅ =

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)。

山東股﹝又稱

股﹞：b₁₅ =

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)。

山川

弦﹝簡稱

弦﹞：c₁₅ =

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)。

山川東勾股形之三事和或較亦可以以 a₁、b₁、c₁ 表之。“山川東”乃上圖之最小之勾股形，亦為十五勾股形中之最後者。

若一勾股形之弦 = c，勾 = a，股 = b，則以下為五和五較：

(1)      勾股和：a + b

(2)      勾股較：b – a

(3)      勾弦和：a + c

(4)      勾弦較：c – a

(5)      股弦和：b + c

(6)      股弦較：c – b

(7)      弦較和：c + (b – a) ﹝較指勾股較，和指弦與勾股較之和﹞

(8)      弦較較：c – (b – a) ﹝第一較字指勾股較，第二較字指弦與勾股較之較﹞

(9)      弦和和：(a + b) + c ﹝第一和字指勾股和，第二和字指弦與勾股和之和。又稱為三事和﹞

(10)      弦和較：(a + b) – c ﹝第一和字指勾股和，第二較字指弦與勾股和之較。又稱為三事較﹞

以下為與

弦﹝勾股形山川東 (15)﹞有關五和五較之等式：

弦上勾股和即小差內減

弦。其較則虛勾內減

弦也。勾弦和即底勾內減小差股。又為底股底弦差。其較則半個虛黃方也。股弦和即平勾。其較則平勾內少二個

股也。弦較和即虛勾。其較則小差上股弦較也。三事和即勾圓差。其較則太虛上股弦較。又為虛勾內減虛黃方也。

以下為各條目之証明：

弦上勾股和即小差內減

弦。

弦上勾股和 = b₁₅ +a₁₅ 。

b₁₅ + a₁₅ =

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁) +

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

=

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)(

+

)

=

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)(b₁ + a₁) 。

已知小差 = c₁ – b₁。

小差內減

弦 = c₁ – b₁ –

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

= (c₁ – b₁)[1–

(a₁ – c₁ + b₁)]

=

(c₁ – b₁)[2a₁b₁ – c₁a₁ + c₁² – c₁b₁]

=

(c₁ – b₁)[2a₁b₁ – c₁a₁ + b₁² + a₁² – c₁b₁]

=

(c₁ – b₁)[(b₁ + a₁)² – c₁(a₁ + b₁)]

=

(c₁ – b₁)(b₁ + a₁)(b₁ + a₁ – c₁) 。

比較兩式，可知

弦上勾股和 = 小差內減

弦。

其較則虛勾內減

弦也。

“其較”指

弦上勾股較。

弦上勾股較 = b₁₅ – a₁₅

=

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁) –

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

=

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)(

–

)

=

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)(b₁ – a₁) 。

已知泛山勾﹝又稱太虛勾﹞：a₁₃ =

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)。

虛勾內減

弦 = a₁₃ – c₁₅ =

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁) –

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

=

(c₁ – b₁)[(c₁ – a₁) –

(a₁ – c₁ + b₁)]

=

(c₁ – b₁)[2a₁c₁ – 2a₁² – a₁c₁ + c₁² – c₁b₁]

=

(c₁ – b₁)[a₁c₁ – a₁² + b₁² –c₁b₁]

=

(c₁ – b₁)[(b₁ – a₁)(b₁ + a₁) – c₁(b₁– a₁)]

=

(c₁ – b₁)(b₁ – a₁)(b₁ + a₁ – c₁) 。

所以

弦上勾股較 = 虛勾內減

弦。

勾弦和即底勾內減小差股。

“勾弦和”指

弦上勾弦和 = c₁₅ +a₁₅。

c₁₅ + a₁₅ =

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁) +

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

=

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)[

+1]

=

(c₁ – b₁)(b₁ + a₁ – c₁)[c₁ + a₁]

=

(c₁ – b₁)[b₁ – (c₁ – a₁)][c₁ + a₁]

=

(c₁ – b₁)(b₁c₁ + b₁a₁ – c₁² + a₁²)

=

(c₁ – b₁)(b₁c₁ + b₁a₁ – b₁²)

=

(c₁ – b₁)(c₁ + a₁ – b₁)。

已知北地底勾﹝簡稱底勾﹞：a₃ = a₁ –

(a₁ + b₁ – c₁) =

(a₁ – b₁ + c₁) 。

日北底股﹝簡稱底股﹞：b₃ =

=

(a₁ – b₁ + c₁) 。

日地底弦﹝簡稱底弦﹞：c₃ =

( a₁ –b₁ + c₁) 。

山艮股﹝又稱小差股﹞：b₁₁ =

=

(c₁ – b₁) 。

底勾內減小差股 =

(a₁ – b₁ + c₁) –

(c₁ – b₁)

=

(a₁² – a₁b₁ + a₁c₁ – 2b₁c₁ +2b₁²)

=

(c₁² – a₁b₁ + a₁c₁ – 2b₁c₁ + b₁²)

=

[c₁(c₁ + a₁ – b₁) – b₁(c₁ + a₁ – b₁)]

=

(c₁ – b₁)(c₁ + a₁ – b₁)。

所以

弦上勾弦和 = 底勾內減小差股。

又為底股底弦差。

“底股底弦差”指底弦上股弦較，即 b₃ – a₃。

已知底弦上股弦較 =

( a₁ –b₁ + c₁) –

(a₁ – b₁ + c₁)

=

(a₁ – b₁ + c₁)(c₁ – b₁) 。

所以

弦上勾弦和 = 底股底弦差。

其較則半個虛黃方也。

“其較”指

弦上勾弦較。

弦上勾弦較 = c₁₅ – a₁₅

=

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁) –

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

=

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)[

– 1]

=

(c₁ – b₁)(b₁ + a₁ – c₁)[c₁ – a₁]

=

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)(b₁ + a₁ – c₁) 。

虛黃方即虛弦和較，又名太虛弦三事較。

太虛弦三事較 = 弦和較 = (b₁₃ + a₁₃) – c₁₃ = b₁₃ + a₁₃ – c₁₃。

–       c₁₃ + b₁₃ + a₁₃

= –

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁) +

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁) +

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)

=

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)(– c₁ + b₁ + a₁) 。

上式是為虛黃方。

所以半個虛黃方 =

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)(b₁ + a₁ – c₁) 。

所以

弦上勾弦較 = 半個虛黃方。

股弦和即平勾。

“股弦和”指

弦上股弦和 = c₁₅ +b₁₅ 。

c₁₅ + b₁₅ =

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁) +

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

=

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)[

+ 1]

=

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)(c₁ + b₁)

=

(c₁² – b₁²)(a₁ – c₁ + b₁)

=

(a₁²)(a₁ – c₁ + b₁)

=

( a₁ +b₁ – c₁) 。

已知月青勾﹝又稱上平勾﹞：a₈ =

=

( a₁ +b₁ – c₁) 。

比較兩式，可知

弦上股弦和 = 平勾。

其較則平勾內少二個

股也。

“其較”指

弦上股弦較 = c₁₅ – b₁₅ 。

c₁₅ – b₁₅=

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁) –

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

=

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)[

– 1]

=

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)(c₁ – b₁)

=

(c₁ – b₁)²(a₁ – c₁ + b₁) 。

已知平勾：a₈ =

=

(a₁ + b₁ – c₁) 。

股：b₁₅ =

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)。

平勾內少二個

股

=

( a₁ +b₁ – c₁) – 2 ×

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

=

( a₁ +b₁ – c₁) –

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)[

–

(c₁ – b₁)]

=

( a₁ +b₁ – c₁)(a₁² –2c₁b₁ +2b₁²)

=

( a₁ +b₁ – c₁)(c₁² –2c₁b₁ + b₁²)

=

( a₁ +b₁ – c₁)(c₁ – b₁)²。

所以

弦上股弦較 = 平勾內少二個

股。

弦較和即虛勾。

弦上弦較和 = c₁₅ +(b₁₅ – a₁₅) = c₁₅ + b₁₅ – a₁₅。

c₁₅ + b₁₅ – a₁₅

=

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁) +

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)
 –

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

=

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)[

+

–

]

=

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)(c₁ + b₁ – a₁)

=

(c₁ – b₁)[b₁– (c₁ – a₁)][ b₁ + (c₁ – a₁)]

=

(c₁ – b₁)[b₁²–(c₁ – a₁)²]

=

(c₁ – b₁)[b₁²–c₁² – a₁²+ 2c₁a₁]

=

(c₁ – b₁)[b₁²– a₁² – b₁² –a₁² + 2c₁a₁]

=

(c₁ – b₁)[– 2a₁²+ 2c₁a₁]

=

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)。

已知泛山勾﹝又稱太虛勾﹞：a₁₃ =

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)。

比較兩式，可知

弦上弦較和= 虛勾。

其較則小差上股弦較也。

“其較”指

弦上弦較較。

弦上弦較較 = c₁₅ – (b₁₅ – a₁₅) = c₁₅ – b₁₅ + a₁₅。

c₁₅ – b₁₅ + a₁₅

=

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁) –

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)
 +

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

=

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)[

–

+

]

=

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)(c₁ – b₁ + a₁)

=

(c₁ – b₁)[a₁– (c₁ – b₁)][ a₁ + (c₁ – b₁)]

=

(c₁ – b₁)[a₁²–(c₁ – b₁)²]

=

(c₁ – b₁)[a₁²–c₁² – b₁²+ 2c₁b₁]

=

(c₁ – b₁)[– 2b₁²+ 2c₁b₁]

=

(c₁ – b₁)(c₁ – b₁)。

=

(c₁ – b₁)²。

已知小差股 = b₁₁=

=

(c₁ – b₁) ，

小差弦 = c₁₁ =

(c₁ – b₁) 。

小差上股弦較=

(c₁ – b₁) –

(c₁ – b₁)

=

(c₁ – b₁)(c₁ – b₁)

=

(c₁ – b₁)²。

所以

弦上弦較較 = 小差上股弦較。

三事和即勾圓差。

弦上三事和即弦和和 = c₁₅ + (b₁₅ + a₁₅) = c₁₅ + b₁₅ + a₁₅。

c₁₅ + b₁₅ + a₁₅

=

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁) +

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)
 +

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

=

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)[

+

+

]

=

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)(c₁ + b₁ + a₁)

=

(c₁ – b₁)[a₁– (c₁ – b₁)][a₁ + (c₁ + b₁)]

=

(c₁ – b₁)[a₁²+ a₁c₁ + a₁b₁ – a₁c₁ + a₁b₁ – c₁² + b₁²]

=

(c₁ – b₁)[2a₁b₁]

= c₁ – b₁。

已知勾圓差 =a₁ – (a₁ + b₁ – c₁) = a₁ – a₁ – b₁ + c₁ = c₁ – b₁。

所以

弦上三事和 = 勾圓差。

其較則太虛上股弦較。

“其較”指

弦上三事較。

弦上三事較即弦和較 = (b₁₅ + a₁₅) – c₁₅ = b₁₅ + a₁₅ – c₁₅。

b₁₅ + a₁₅ – c₁₅

= –

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁) +

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)
 +

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

=

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)[ –

+

+

]

=

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)( – c₁ + b₁ + a₁)

=

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)²

=

(c₁ – a₁)(c₁ – b₁)(c₁ – b₁)

=

(c₁ – b₁)²(c₁ – a₁)。

注意 (c₁ – b₁)(c₁ – a₁) =

(a₁ + b₁ – c₁)²。

太虛股弦較= c₁₃ – b₁₃ =

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁) –

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)

=

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)[

– 1]

=

(c₁ – a₁)(c₁ – b₁)(c₁ – b₁)

=

(c₁ – a₁)(c₁ – b₁)²。

比較兩式，可知

弦上三事較 = 太虛上股弦較。

又為虛勾內減虛黃方也。

已知太虛勾：a₁₃ =

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)。

“虛黃方”指太虛弦三事較 = 弦和較 = b₁₃ + a₁₃ – c₁₃。

–c₁₃ + b₁₃ + a₁₃=

(c₁ – a₁)(c₁ – b₁)(a₁ + b₁ – c₁)

虛勾內減虛黃方=

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁) –

(c₁ – a₁)(c₁ – b₁)(a₁ + b₁ – c₁)

=

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)[1 –

(a₁ + b₁ – c₁)]

=

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)(a₁ – a₁ – b₁ + c₁)

=

(c₁ – b₁)²(c₁ – a₁)。

別証法：

虛勾內減個小黃方 = a₁₃ – (a₁₃ + b₁₃ – c₁₃)

= c₁₃ – b₁₃

= 太虛股弦較﹝見前﹞。

“黃方”定義可參閱筆者另文。

以下為《測圓海鏡》原文：