数学建模30：流方法、曲线和曲面的镶嵌
本讲导读
在电影特效制作和工业设计时，经常需要将某种花纹自然地镶嵌在曲线或曲面上，这个问题可以归结为如下的数学问题：假设平面直角坐标系中的曲线L为某个一元函数的图像，当弯曲横轴时，相应的曲线L又会如何变化呢？推广到二维情况，假设空间直角坐标系种的曲面S为某个二元函数的图像，当弯曲x-o-y平面时，相应的曲面S又会如何变化呢？更一般的流形上也有类似的问题，黎曼几何中利用曲面法丛上的向量场和偏微分方程来“滑动”曲面到目标样式，也被称为“流方法”，是现代数学的核心思想之一。在初等例子中，流方法体现为高中的向量和导数的综合应用。本文就通过高中知识，以初等例子介绍流方法的主要思想。
本讲适合在讲授或学习完高中数学的基本初等函数、导数与积分、平面向量与空间向量后，作为数学建模素材在日常教学中讲授或练习。本讲内容包括但不限于：
1.一些数学工具的准备：曲线论基础、向量的叉积和弧长公式；
2.曲线镶嵌问题与平面内的流方法；
3.曲面镶嵌问题与空间中的流方法；
4.一些有趣的例子。
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