【香樟推文2004】社会资本与网络上的非正式互助

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推文作者：李国鹏

文章来源：Jackson, M. O., Rodriguez-Barraquer, T., & Tan, X. (2012). Social capital and social quilts: Network patterns of favor exchange. American Economic Review, 102(5), 1857-97.

01

引言

合作是人类社会恒久不变的主题之一，然而合作在很多情况下往往难以维持，尤其是两个人之间的合作往往很难维持。社会压力（social pressure，指的是社会群体给个体带来的促进合作的压力）在促进合作方面发挥着重要作用(Simmel, 1950; Coleman, 1988; Krackhardt, 1996)，在这些文献中一个常见的指标是clustering——一个人的朋友中彼此也是朋友的比例，这是网络经济学里面很常见的一个指标。通俗的理解就是，你的朋友间互相都认识，因此合作更容易维持，因为你不太敢欺骗你的朋友——骗了一个人其他人都知道了。

作者使用印度乡村的一个非正式互助网络数据计算得出，clustering大概位于10%-30%之间。为什么clustering会呈现出这样的特点而不是更高或更低，或者说clustering是否是合适的衡量社会压力的指标。在作者的模型中，support——两个朋友拥有的共同朋友的数量，对于个体之间的合作发挥着重要作用，从直觉上也比较容易理解，两个人的共同朋友越多，面临的社会压力就越大，背叛的成本就会越高。

[备注：这两个指标，其实有些相似，但是有所不同，具体而言一个其实是用比例来刻画，一个是用数量来刻画，并且我们也可以举出一些例子，就是在同一个网络中，一个可能很大，一个可能很小，关于这两个指标的详情，可以看我之前的香樟推文

【香樟推文1914】社会资本与社会网络的衡量方法]

作者构建了一个博弈论模型来刻画非正式互惠如何运行，并且对印度75个村庄的非正式互惠网络进行了研究。作者考虑如下的一种情形：单纯的二元互惠关系是不频繁的，因此很难达成互惠，当个体面临可置信的社会压力威胁时（如果个体背叛了另一个个体，他们共同的朋友也会对该个体进行惩罚），个体会选择进行合作。作者对这种非正式互惠网络模式给出了一个完整的刻画，讨论了什么是均衡，给出了两个稳健性标准。

02

模型

本文研究一个网络上的互惠博弈，帮助别人的机会随着时间

以的概率

随机出现，也就是说如果

是朋友，那么每一期

有

的概率向

寻求帮助，

也有

的概率向

寻求帮助。帮助别人自己需要成本

，得到帮助的人收益为

。假设

，否则没有互相帮助的必要，从而个体愿意随着时间推移持续提供帮助。假设时间间隔很短，因此每一期最多只有一个人需要帮助，即

。

合作遇到的问题是：当期提供帮助的成本可能会很高，在时间折现因子

作用下，尽管预期未来会得到来自其他个体的帮助，个体在当期也没有足够的激励为其他人提供帮助，举一个简单例子：假设有一个双人动态互惠博弈，当

时，任何两个个体之间的互惠都是难以持续的——背叛是最优反应。

因此，互惠网络需要提供一个足够的激励来促使个体之间互相帮助，比如：个体如果不帮助某一个个体，不但会后会失去该个体的帮助，也会失去他们的共同朋友的帮助。作者给出了两个互惠网络均衡时应该满足的两个特点：1、针对某个个体不帮助其他个体的威胁应该是可置信的。2、某个个体背叛之后产生的恶劣影响局限于自己的邻居，不会产生巨大的涟漪效应从而使得整个互惠网络崩溃。

在对称的设定中，满足以上两个特点的网络要求一个特殊类型的互惠配置，作者称之为“social quilts”。一个social quilt 是许多小的cliques (全连接的子网络，指的是在子网络中，任何两个个体之间都有一个连接)的联合，每一个clique都要足够大从而可以维持合作行为，所有的cliques被连在一起，类似于一个树状结构。

作者还扩展了该模型，即帮助的成本、收益还有帮助机会出现的概率在个体之间是有差异的。在更一般化的模型中，任何均衡的网络都必须满足以下特点：任何link连接的两个个体都有一些共同的朋友。

作者构建的博弈顺序如下：

1、在t期期初面对的网络是：

。

2、所有的个体同时宣布他们想保留的links：

，之后剩下的网络为：

。

3、

是

中links的总数，有

的概率在网络中有某个个体需要帮助，

的概率没有任何个体需要帮助。如果有个体需要帮助，可能是某个link链接的两个个体中的任何一个，设

是被请求帮助的人而

是需要帮助的人，

。

4、个体

选择是否进行帮助，如果进行帮助则成本为

，同时获得的收益为

，如果个体

不进行帮助，则没有收益也没有成本产生。

5、如果

请求帮助而

没有提供帮助，则

期最终的网络为

。

每个个体进行两个决策，第一个是和谁保持关系，第二个是如果朋友向自己求助，要不要提供帮助，但是实际上只有一个决策，即和谁保持关系——因为不帮助就会丢掉关系。如果个体

决定一直留在网络

中，期望收益为：

假设在某一期，个体

需要给自己的朋友

提供帮助，如果他进行帮助了并想一直待在网络中，则收益为

；如果他是需要帮助并且得到帮助了，收益为

。

因此，任何网络结构

如果可以在纯策略子博弈完美纳什均衡下永久持续下去——所有的请求都会得到满足，所有的links都不会被删掉，或者说

是一个稳态的网络。那么对于任何个体

而言需要满足：

实现这种维持方法的一种是，如果某个人收到提供帮助的请求时，拒绝提供帮助，那么剩下所有个体会删除自己所有的links，网络中不会再有任何互惠发生，这种威胁可以使得互惠得以维持，特别地，如果：

那么全连接的网络（任何两个个体之间都有links相连）是最有效的可维持的互惠网络。

Renegotiation proofness : 尽管上面的分析为社会维持有效的非正式互惠带来了一些积极消息，但是忽略了一个重要的事实——威胁并不总是可信的。某个个体

拒绝提供帮助整个互惠网络就会崩塌，或者说其他人都会删除和

之间的链接是不现实的，因为当某个个体拒绝提供links时，剩下个体会重新思考个体之间应该如何连接。如果一开始的均衡带来的收益比较低，如果存在一些其他的equilibrium continuation使得所有参与者都更好，那么他们会转向使得他们更好的情形。不妨看一个小例子：

例1：假设有4个个体，具体的连接情况如下图所示，

假设有以下关系成立：

这个网络博弈有一个子博弈完美纳什均衡：如果有任何个体的帮助没有得到满足，其他个体都会删除自己所有的links，网络会坍塌。

此处如果某个时刻2需要1的帮助，但是1拒绝给2提供帮助，那么12这个link会消失，此时1想保留和4的link，因为保留14可以给自己带来期望收益：

但是4知道，从此1不会再给4提供任何帮助，因此14也会消失，以此类推，最终所有links都会消失，没有任何子网络可以维持，即整个网络都会崩溃掉。

子博弈完美纳什均衡中的威胁是可置信的——1不会拒绝给2提供帮助，任何个体面临帮助的请求时都不会拒绝帮助。

接下来再来看一个例子：

这个网络博弈也有一个子博弈完美纳什均衡：如果有任何个体的帮助没有得到满足，其他个体都会删除自己所有的links，但此处不存在可以维持该网络结构的renegotiation-proof 均衡。

假如1收到3的帮助请求，但是1没有帮助3，此时13会被删除，剩下的网络为：

，也就是上面我们讨论的网络，我们已经说明了，上面的网络可以维持一个子博弈完美纳什均衡，并且也是renegotiation-proof，因为维持

比所有links都删除更好，没有人会愿意再删除一个link——因为删除之后如上面的分析整个网络都会坍塌。因此，到达

后，其他人之前作出的会删除自己所有links的威胁是不可信的。而当1删除掉和3的link之后，剩余的网络

依然可以维持。因此，

作为一个均衡是不可维持的——如果我们假设continuations不能被其他均衡的continuation帕累托占优。

使用递归的方法定义renegotiation-proof networks，令

表示links总数为

的renegotiation-proof networks的集合。

令

，

是

的子集（这是显然的），一个网络

当且仅当从

开始，意味着存在一个纯策略子博弈完美纳什均衡使得：

1、在均衡路径上，

总是可维持的——所有的请求都会被满足，所有的links都不会被删除，这句话实际上是在说，如果

删除了某个links

，在剩下来的可维持的网络中至少要减少

个links，否则会选择删除自己所有的links，

便不可维持。

2、在任何从

开始的子博弈中（注：

可能是稳态的，也可能是不稳态的），如果

以一定的概率达到，并且可以永久维持，那么（I）

对于某个

成立，并且（II）不存在任何

使得

并且[

对于所有

的而言都成立，其中严格不等式至少对某个

成立]成立。这句话的意思是说，从某个子网络

出发，如果达到了（大家商量出来的）某个稳态时的网络

，那么不应该被任何其他子网络

帕累托占优。

我们称一个网络

是renegotiation-proof的，如果存在一些

使得

，有了该定义，我们回过头来看看之前的例1：

，因为如果只有一个link，没有networks是可维持的；同理

；

,因此 triads（指的是三个个体两两相连的网络），再来好好看看这个例子，假设这个网络是renegotiation proof的，首先要满足存在一个子博弈完美纳什均衡使得它可以永久维持，这意味着如果某个

删除了某个link

，在接下来的可维持的网络中至少要损失

个links，否则

会立刻删除所有links。一个威胁策略即可满足这样一个子博弈完美纳什均衡，接下来看第二个条件，如果从某个子网络出发，最终达到的可维持的网络一定是一个空网络

，并且不存在任何

帕累托占优

，因为任何中的网络均不满足第一个条件——存在一个子博弈完美纳什均衡；

；——图1易得；同理可知（无需考虑更多情况了，因为4个nods最多可以产生

个links）。

删除某个links之后，可能存在很多renegotiation proof network，我们找其中最大的，即不能被其他network帕累托占优的。感觉最核心的思想就是如果是renegotiation proof的，那么威胁一定是可置信的。

给出这个例子，可以看出renegotiation proofness作为一个很简单也很自然的工具限制了潜在的威胁。并且可以给出一个合理的预测——即什么样的网络是可维持的。

如果一些请求没有被得到满足，那么报复性行为会发生。这种行动有着很多合理的解释，这里提供两种解释，第一种是如果个体的请求如果被拒绝了，那么会对自己的效用有一个非常负面的影响，个体会有一个行为上或者情感上的反应，从而将不会继续帮助拒绝自己的人，即使这意味着自己可能会丧失更多的links；第二种是，每个个体在每个互惠关系中都有一个type，个体会随着时间推移通过观察其他人的行为来了解其他人的type，如果个体观察到对方拒绝了自己的帮助，那么会认为对方在和自己的互惠关系中属于bad类型，之后也不会帮助自己，因此该互惠关系对自己而言已经没有价值（需要注意，这里的type对于每个双边互惠关系都是不一样的，比如

没有帮助

，那么

认为

是一个bad type，对

而言双边互惠关系已经没有价值，但不代表其他人比如

也认为

是一个bad type）

Characterizing Renegotiation-Proof Networks

定义

为：

可知，最多存在一个这样的

，并且

（注：上述对

的刻画研究的是一般的情形，忽略了等于的情况），可知

刻画了，如果今天个体面临请求时，如果拒绝帮助，因此不用付出

，将会丧失多少个价值为

的关系。

命题1：在一个互惠博弈中，一个网络在纯策略子博弈纳什均衡下可永久维持当且仅当每一个个体有0个links或者至少有

个links

证明：

该命题是显然的，作者忽略不证。这里处于学习的目的，证明一下，先证充分性：注意，在作者的模型设定中，links只能减少不能增加。因此，对于那些links为0个links——已经没有任何办法可以使得他们变得更好，因为不能增加links。而对于那些links都大于等于的

个体而言，减少一个link意味着在新的均衡中至少会减少

个links，得不偿失——少于

个links会让他们变得更糟，因此这些个体也不会改变，充分性得证。再证必要性，如果网络是可永久维持的，那么不会存在links处于

的个体，因为这些个体一定会把links数削减为0，必要性得证。

令

表示所有可维持（在该网络上存在纯策略子博弈完美纳什均衡）的网络，任何renegotiation-proofness 的网络一定在这个集合之中，也就是说renegotiation-proofness网络更小，

网络更大。有了这个发现，容易知道构建可维持网络的一种方法是提供合适的激励或者说威胁，如果个体删除了某个links或者没有帮助别人的请求，那么该个体预期会损失至少

个links以及对应的价值。

我们称一个网络

是

，如果：

1、

。

2、对于任何

和

，

，使得

并且

。

这句话的意思是，如果

是

（因为给定其他变量时，

是唯一的，因此接下来都忽略掉

，而是简称为

），那么首先

是可维持的，并且删除掉

里面的某个link

之后，在网络

中不存在任何子网络

，使得

在

中的links数量的减少量小于

并且子网络

依然可维持。换句话说：对于任何子网络

，如果满足了

，那么必须满足

一种非常容易的构造critical network的方法便是使得每个个体至少拥有

个links即可，如下图所示：

命题2：任何的非空网络

都包含一个非空的critical network；并且任何critical network 都是renegotiation-proof的。

证明：

该命题的第一句话容易证明，只需先检查是不是，如果不是，肯定存在一个子网络

，使得并且

存在一个

使得

且

（注意这里肯定是大于等于

，如果小于，只能为0，

不可能成立，因此

一定非空）。接着再检查

看其是否是一个critical network，如果

不是，再继续删除links往下找，最终一定可以找到非空的

是critical network——因为links的数量在不断减少但是每次减少之后都不是空网络。第二句话的意思是说，critical network 是一种特殊的renegotiation-proof 的网络。假设

是一个critical network，首先在

里面，因此是可维持的，满足renegotiation-proof的第一个性质了。

接着我们说对于任意

，如果是

去掉

之后，大家

的links一定会至少减少

个的基础上商议出来的最好的网络——满足renegotiation proof，此时不存在帕累托占优

的网络

，因为

想要占优

，

的links数量减少量一定要小于

，而任何可维持的

必须满足

的links减少量小于

（更不用说该子网络是否是renegotiation proof的了），因此肯定不存在这样的

了。

以上是我的证明，作者的证明：1、令

是一个最小的非空网络，使得

并且

，这样的网络一定存在

，那么一定是critical，因为删除任何一个link之后，剩下的在

里面的就是空网络了，显然满足定义。2、是定理1的推论。

令

在网络

上所有个体的degree的情况，如果

并且

，那么我们说

。

接下来，使用递归的方法定义transitively critical networks，令

表示所有拥有

个links的transitively critical networks的集合。

令

，一个网络

当且仅当对于任意

和

，存在

，使得(I)

对某些

成立并且

成立，并且(II)不存在

使得

并且

。

这个定义是说，对于一个transitively critical的网络

，如果

被删掉了，那么

中一定包含一个transitively critical 网络，并且links总数至少要减少

，其中

的links数量的减少量不少于

；并且不存在其他

帕累托占优

。这意味着：

是大家讨论出来的，是帕累托最优的，不存在另一个

占优

。如果是一个transitively critical network，那么肯定没有哪个

愿意删除某个link，因为得不偿失。

THEOREM 1：一个网络是renegotiation proof的当且仅当它是transitively critical

接下来讨论稳健性标准——即如果一个个体没有提供某个帮助，造成的影响是局部的，而不会影响全局。

OBSERVATION 1：如果公式(1)对于

成立，

is a renegotiation-proof network, and

，那么

不是一个renegotiation-proof network

我们称一个网络是Robustness against Social Contagion，如果（I）它是renegotiation proof的；（II）从任何renegotiation proof network

开始，对于任何的

和

，如果

没有提供帮助，并且

以正的概率实现了并且被永久维持，如果

且

，那么

并且

。

这个意思是说，并且从任何renegotiation proof的网络

出发，如果某个link

被删除了，引起的连锁反应——所有被删除的links要么包含

，要么包含

的邻居，从nodes的角度而言，仅仅影响

与其邻居。

m-clique：一个包含个

nodes的全连接网络，每个node拥有个

links，比如下面是一个3-clique:

m-cliques 是一类重要的 critical networks，只要一个node把某个link给删除了，整个networks都会坍塌。注意：一个m+1 cliques不是renegotiation-proof，证明：反证法，假设它是1、首先满足第一个性质——存在一个子博弈完美纳什均衡；2、那么假设某个删除了某个links

，至少要损失

个links，如果只剩下一个link，

显然也会删除掉，此时的结果是：

没有任何links，其他个体每个个体拥有

个links，该网络可以永久维持；但是该网络显然被：i和j都拥有m个links，其它每个人都拥有m+1个links的网络

占优。

Social quilts（m-quilt）：（I）多个m-cliques的并——这意味着，对于任意

，存在一个

并且是一个m-clique，（II）并且不存在一个cycle，使得这个cycle超过

个links

m-quilt有两个良好的性质：不存在bridges；删除任何一个links，直径最多增加1。

THEOREM 2:一个网络是robust against social contagion 当且仅当它是一个social quilts

证明过程参见附录

命题3：固定

并且让

增加，那么可维持的网络的比例趋近于1并且social quilts的比例趋近于0

证明过程参见附录

Theorem 3: 如果 (2) 式成立并且网络

is robust against social contagion, 那么所有 links in

都是 supported——任何links都属于至少一个triad.

证明略

作者还使用了来自印度村庄的真实的互惠数据对本文理论结果进行了验证，和本文的理论结果是符合的。

03

结论

本文通过构建一个网络博弈模型研究了社会网络结构如何促进合作的维持，基于的一个最基本的出发点是——二人互惠往往难以维持，因此需要更多人的合作或者说监督才能促使合作维持。如果联合驱逐背叛个体的威胁不可置信，如何刻画背叛——删除某个链接的后果较为困难。在本文中，support指标在维持个体合作中发挥了重要作用，并且基于真实数据发现support比clustering指标要高出很多，作者的研究为support这个指标的作用提供了一个理论上的新的支持并且得到了实证支撑。

 Abstract 

We examine the informal exchange of favors in societies such that any two individuals interact too infrequently to sustain exchange, but such that the social pressure of the possible loss of multiple relationships can sustain exchange. Patterns of exchange that are locally enforceable and renegotiation-proof necessitate that all links are 'supported': any two individuals exchanging favors have a common friend. In symmetric settings, such robust networks are 'social quilts': tree-like unions of completely connected subnetworks. Examining favor exchange networks in 75 villages in rural India, we find high levels of support and identify characteristics that correlate with support.

声明：推文仅代表文章原作者观点，以及推文作者的评论观点，并不代表香樟经济学术圈公众号平台的观点。

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本期小编：崔士林