《下学葊算书》之勾股弦和较积之等式图解(8)
《下学葊算书》之勾股弦和较积之等式图解(8)
上传书斋名：潇湘馆112 Xiāo Xiāng Guǎn 112
何世强 Ho Sai Keung
提要：本文取自清‧项名达着《下学葊算书一》之勾股术，主要介绍该书之勾股形之三边加减后相乘之不同情况。本文之代数解甚为简单，该书之图解法亦巧妙。
关键词：长方积 长阔较 长阔和 弦较较 磬折形
下图为一般之直角三角形图：
在以下各题中，x、y、z为直角三角形三边。
本文所涉及者乃勾股形之恒等式证明题，《下学葊算书》中之证明皆为“图证”，笔者之证明法与原文相若，唯加上现代数学方式表达。
﹝一﹞勾弦较股弦较相乘为长方，其长阔较，即勾股较，倍其积与弦和较自乘方等，何也？
题目问勾弦较股弦较相乘为长方，其积乘以 2 后，与弦和较平方相等，试证明之。
解：
已知勾弦较= z – x 。股弦较= z – y 。
勾弦较股弦较相乘为长方，即(z – x)(z – y) = z2 – zy – zx + xy。
长阔较，指已知两数之差，此处之差指勾股较，即 (z – x) – (z – y) = y– x，无须用于运算。
倍其积即 2(z2 – zy – zx + xy ) = 2z2 – 2zy – 2zx + 2xy
= z2 + x2 + y2 – 2zy – 2zx + 2xy。
将其中一z2 改写成 x2 + y2，依勾股定理。
以下为弦和较之定义：
弦 = z，和指勾股和勾 + 股 = x + y。较指前两数之差，所以
弦和较=(x + y) – z= x + y – z。
其平方为 (x + y – z)2= x2 + y2 + z2 – 2zy – 2zx + 2xy。
比较两式可知相同，所以 2(z – x)(z – y) = (x + y – z)2。
项名达以几何方式证明，其法主要为面积之分割及合成，此乃其法之要点。以下为〈勾弦较股弦较相乘为长方图〉﹝天干地支乃原图之标示﹞：
ABDC 是为弦方 z2 ，CMHN 是为股方y2，BEJF是为勾方x2，从图可知 BG = FL = z – y ，DF = z – x ，EA = z – x，MA = z– y ，可知长方形 NLFD 及 KMAE 全等，而其面积皆为(z – x)(z – y) ，是为勾弦较股弦较积。
HKJL 亦为正方形，边长为 y – (z – x) = x + y – z，是为弦和较，其面积为
(x + y – z)2。
下图两黄色长方形之面积相等，其和为2(z – x)(z – y) ，中央为弦和较平方。
今设 DNLF = P， LJKH = R ，KMAE = R， 曲尺形NCMKJL = Q，KMAE =S，曲尺形 FLHKEB = S。
以下为五分弦方图：
上图表示将五份之面积相加即可得弦方。
《下学葊算书》曰：
壬戊己乙一勾方，丙丑寅辛一股方，相加，既与丙甲乙丁一弦方等积，则丑甲癸戊及寅子丁巳，勾弦较股弦较相乘两长方亦必与壬癸子辛弦和较自乘方等积矣。
从上图可知以下等式成立：
股2 + 勾2 = 弦2 即CMHN + BEJF = ABDC = z2，
Q + R + T + R = z2，
又 Q + R + T + P + S = ABDC = z2，
上两式右方相等即左方相等即：
Q + R + T + R = Q + R + T + P + S
约简得 R = P + S。
因为 FL = z – y 是为股弦较，DF= z – x 是为勾弦较，
P = (z – x)(z – y)，
KE=z – y，KM= z – x，S = (z – x)(z – y) ，
HK= HM – KM = y – (z – x) = x + y – z，
又 R = (x + y – z)2。
代入约简式，所以(x + y – z)2 = 2(z – x)(z – y)。
证毕。
﹝二﹞勾弦和股弦和相乘为长方，其长阔较即勾股较。倍其积，与弦和和自乘方等，何也？
题目问勾弦和股弦和相乘为长方，其积乘以 2 后，与弦和和平方相等，试证明之。
解：
已知勾弦和= z + x 。股弦和= z + y 。
勾弦和股弦和相乘为长方，即(z + x)(z + y) = z2 + zy + zx + xy。
长阔较，即勾股较，即(z + y) – (z + x) = y – x ，右方是为勾股较。无须用于运算。
倍其积即 2(z2 + zy + zx + xy ) = 2z2 + 2zy + 2zx + 2xy
=z2 + x2 + y2 + 2zy + 2zx + 2xy。
将其中之z2 改写成 x2 + y2。
以下为弦和和之定义：
弦 = z，和指勾 + 股 = x + y。最后之和指前两数之和，所以弦和和
=(x + y) + z= x + y + z。
其平方为 (x + y + z)2= x2 + y2 + z2 + 2zy + 2zx + 2xy。
比较两式，所以 2(z + x)(z + y) = (x + y + z)2。
以下为弦和和方图：
先作一正方形 ABDC边长为弦和和，即 x + y + z。 左上角为股方 y2，中央为弦方 z2，右下角为勾方 x2，因此 AB 之长为 y + z + x ，AE 之长为
z + x，KB 同长，是为勾弦和，NB 之长为 z + y，CH 同长，是为股弦和，因此，(z + x)(z + y) 可以以长方形 CHMJ 或 GNBK 表示，而 2(z +x)(z + y) 可以以 CHMJ + GNBK表示。上图有四长方形分别以 1 、2、 3、 4 表示，即可知 CHMJ = 1 + 2 + z2； GNBK = 3 + 4 + z2。
因为 CHMJ = GNBK，约去 z2，所以 1 + 2 = 3 + 4 。
《下学葊算书》曰：
辛甲己寅一勾方，壬子丁癸一股方，相加既与庚己子丑一弦方等积，则丙辛壬丑及庚寅癸乙，勾弦和股弦相乘两长方，亦必与丙甲丁乙弦和和自乘方等积。
以下为其理由，从下图可知：
2(z + x)(z + y) = CHMJ + GNBK
= 1 + 2 + z2 + 3 + 4 + z2
= 1 + 2 + 3 + 4 + 2z2。
(x + y + z)2 = 1 + 2 + z2 + 3 + 4 + x2 + y2
= 1 + 2 + z2 + 3 + 4 + z2
= 1 + 2 + 3 + 4 + 2z2。
比较两式相等，所以 2(z + x)(z + y) = (x + y + z)2。
〈弦和和方五分图〉：
蓝色部份面积 = 绿色部份面积。又两白色正方形之和等于浅红色之正方。
﹝三﹞勾弦和股弦较相乘为长方，其长阔较即勾股和。倍其积，与弦较较自乘方等，何也？
题目问勾弦和股弦较相乘为长方，其积乘以 2 后，与弦较较平方相等，试证明之。
解：
已知勾弦和= z + x 。股弦较= z – y 。
勾弦和股弦较相乘为长方，即(z + x)(z – y) = z2 – zy + zx – xy。
长阔较，即勾股和，即(z + x) – (z – y) = y + x ，无须用于运算。
倍其积即 2(z2 – zy + zx – xy) = 2z2 – 2zy + 2zx– 2xy
=z2 + x2 + y2 – 2zy + 2zx – 2xy。
以下为弦较较之定义：
弦 = z，第一较字指股 – 勾 = y – x。第二较字指勾股较与弦之较，所以弦较较 = z–(y – x) = z – y+ x 。
其平方为 (z – y + x)2= x2 + y2 + z2 – 2zy + 2zx– 2xy。
比较两式可知相等，所以 2(z + x)(z– y) = (x – y + z)2。
以下为图解法：
先作一正方形 AQHP边长为勾弦和，AD = z，DQ = x，即 AQ = x + z。 左上角为勾方 x2，右下角为股方 y2，ADCB 为弦方 z2。己丁FD = BE = z – y。
从图可知DF = DA – FA = z – y。
AQ = AP = z +x。
LN = KM = BE = z – y。
QF = x + (z – y) = x + z – y ﹝即弦较较﹞。
今将各长方形配上编号如上图所示。
容易证明 LNRC = CTMK = 1，BEGR = GFDT = 2，
CRGT = (z – y)2= 3，可参阅下图。
方形 HNGM 即(x + z – y)2，(x + z – y)2 = LCKH + LNGMKC
= x2+ 1 + 3 + 1。
z2 = ABCD，y2 = AEGF。
ABCD – AEGF = z2– y2 = x2 = EBCDFG = 2 + 3 + 2，
(x + z – y)2= x2 + 1 + 3 + 1
= 2 + 3 + 2 + 1 + 3 + 1﹝将 x 之值代入﹞
= 2[1 + 3 + 2]。
又BEMK = LNFD = (z + x)(z – y) 。
2(z + x)(z– y) = BEMK + LNFD = 1 + 3 + 2 + 1 + 3 + 2
= 2[1 + 3 + 2]。
比较以上两式可知 (x + z – y)2 = 2(z + x)(z –y)。
证毕。
《下学葊算书》曰：
乙甲丙丁弦方内减去戊甲庚己股方，即BADC – EAFG，
余乙戊丙庚丁己磬折形 BEGFDC，必与癸丙辛壬 LCKH勾方等积，此勾方，若加一丑癸庚丙子壬磬折形 LNGMKC，即为丑庚辛子 NGMH 弦较较自乘方，则乙戊丙庚丁己磬折形BEGFDC，若加一丑癸庚丙子壬磬折形LNGMKC，亦必为丑庚辛子NGMH弦较较自乘方，而此两磬折形相加，原不异于乙戊壬子癸丑己丁两长方相加，然则己丁FD股弦较，丁癸DL勾弦和相乘，倍之为两长方，亦即与丑庚辛子NGMH弦较较方等积矣。
“磬折形”即今之所谓曲尺形。
以下为《下学葊算书》之原文：