探究小球在竖直圆弧轨道内的实际振动规律

图1 实验场景

引言

上周末，花费一整天的时间，研究了“小球在竖直圆弧轨道内的振动规律”。如视频1、2所示，高中物理中的小球圆弧轨道振动模型给出的振动周期与实际测量的振动周期截然不同，而且偏差很大，不得不让人怀疑小球圆弧轨道振动模型的可靠性。

视频1 不同小球在等宽等径轨道上的振动

视频2 同一小球在等径不等宽轨道上的振动

高中物理中的小球圆弧轨道振动模型是类比单摆模型进行运算的，得出的振动周期结论与单摆周期公式类似。即

（1）

但是，将测量数据代入到（1）式计算中，计算出来的振动周期的理论值与实际测量到振动周期值差别很大。这说明不能利用单摆模型处理小球圆弧轨道振动问题。

如此来看，为了找到小球圆弧轨道振动模型的真正规律，就必须重新建模。

1 理论分析

设竖直圆弧轨道的内半径为R，轨道槽口的宽度为d，小球的质量为m，半径为r。若小球偏离竖直方向的角度为θ，则小球受力情况如图2所示。

图2 受力分析图

考虑到小球在竖直圆弧轨道内振动时的振幅比较小，可以视为简谐运动；鉴于小球和竖直圆弧轨道之间的摩擦在实验中不可避免，可以将小球的运动视为纯滚动。

从纯滚动角度入手，在小角度条件下，参考高中物理中单摆周期公式的分析过程，可以得到小球在竖直圆弧轨道内振动的周期公式。即

（2）

在几何画板软件中以小球半径为自变量，以小球振动周期为函数，绘制函数图像，得到的函数图像如图3所示。

图3 振动周期与小球半径的关系

观察图3可以发现，当小球半径逼近轨道槽口一半的时候，小球振动的周期趋近于无穷大；当小球半径逼近轨道半径的时候，小球振动的周期趋近于零。

观察图3可以发现，当小球半径接近槽口宽度一半的时候，小球半径的测量误差即便是很小，对周期的影响也是非常巨大的。

2 实验检验

为了检验上述分析的正确性，可以运用控制变量法，分别改变小球半径和轨道槽口宽度，进行实验验证。

2.1 保持槽口宽度不变，验证小球半径变化对振动周期的影响

表一 不同半径小球的振动周期比较

观察表一可以发现，当轨道槽口一定时，小球振动周期随着小球半径的增大而减小。小球振动周期的测量值与理论值非常吻合。

2.2 保持小球半径不变，验证槽口宽度变化对振动周期的影响

表二 不同半径小球的振动周期比较

观察表二可以发现，当小球半径一定时，小球振动周期随着轨道槽口宽度的增大而增大；小球振动周期的测量值与理论值非常吻合。

3 小结

在实验过程中，由于小球和轨道之间有不可避免的摩擦存在，小球在竖直圆弧轨道最低点两侧振动时，往往是做纯滚动的；小球在竖直圆弧轨道最低点两侧做简谐运动时，振动周期随着小球半径的增大而减小；当小球半径趋近于轨道槽口宽度一半的时候，小球振动周期趋近于无穷大；当小球半径趋近于轨道半径的时候，小球振动周期趋近于零。

高中物理中的小球圆弧轨道振动模型仅仅是轨道槽口宽度、小球半径均和轨道摩擦力均趋近于零时的极端理想化的情形，在通常条件下难以实现。

前文推送

对小球在圆形轨道中振动的实验研究颠覆高中物理圆弧小球振动模型

图4 实验用品

本次研究使用的这款离心轨道是从京东商城花费57元购买的，离心轨道由铝合金槽整体弯制而成，离心轨道的释放侧安装有为小球定位的夹子，另一侧有收集小球的凹槽。

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