任意两个自然数互质的概率都能求出来？居然还等于6/π²

问同学们一个问题：10以内，任取两个自然数互质的概率是多少呢？

对于这样的问题，没有其他办法，好在10这个范围不大，可以用枚举方式来进行。

黄色区域是互质，白色区域有除1以外的公约数

其中1与任何数都是互质的，任意素数之间也都是互质的。

于是我们得出10以内的自然数互质的概率就是63/100=0.63。

那我们再扩展一丢丢呢，1000以内呢？其实也可以通过归纳的方式得出来，可以避开这种一一枚举的笨办法，但是也仍然很费事。接下来，我们来挑战一个真正的问题，在全体自然数中，任意两个数互质的概率是多少呢？

研究数的性质基本上都要归结于素数

这个问题有点难度，但是结合上面10以内互质枚举的列表，我们先来收集一些特征。

我们发现，似乎两个数是否互质，跟素数有很大关系。比如2，会跟哪些数互质呢？很明显，1,3,5,7,9。这些全部都是奇数，占到所有数字的1/2,与2不互质的概率也为1/2。3呢？会跟哪些数互质呢？那就是，1,2,4,5,7,8,10由于这里我们只列举了10以内的情况，所以这里互质的概率是7/10，假如我们列举到12以内的情况，这个概率就等于8/12，等于2/3了，那么与3不互质的概率就是1/3。依次分析5,7，你会发现一个有趣的事实。

素数

任取一个数与某个素数p不互质的概率都是1/p，因为只有p的整数倍才会与p有公约数。那么任意自然数与p互质的概率就是1-1/p。我们现在来给全体素数从小到大做个排列。

P1,P2,P3...是全体素数从小到大的排列，也就是说P1,P2,P3...就是2,3,5...

任取两个自然数，这对自然数没有2这个公约数的概率就是1-(1-1/2)*(1-1/2),没有公约数3的概率就是1-（1-1/3）*(1-1/3)。依次类推，从全体自然数取出两个自然数都互质，那就要与任何一个素数都互质了。于是这个概率就是

任意两自然数互质的概率

这个大π是个连乘符号，表示将后面所有的式子都连乘起来的积。这个符号看起来有点恐怖，但并不是一点办法都没有。观察一下（1）式，我们来对这个式子进行处理。

等式2

到了(2)式之后，我们接下来就将全体的P1,P2,P3的具体数值代入进去。于是有

等式3

当工作进行到(3)式了，就必须转换思维了，否则工作就将无法进行下去。我们来回想小学时候学过的基础数学概念，把一个合数分解成若干个素数相乘的形式。这个过程叫分解素因数，但是你有没有想过，为什么把合数只分解成若干个素数相乘的形式，而不是分解成别的什么形式。

分解质因数很重要

这里主要有2点原因，第一，素数的乘积可以表示成任意合数，第二，这种分解成素数乘积的形式是唯一的。第一条是显而易见的，因为合数分解到都是素数乘积的时候就只能停止了，因为素数只有本身和1两个约数了，再分解就没有意义。第二条在数学上有个高大上的名字——算术基本定理，与代数基本定理齐名。

欧几里得最先发现算术基本定理

好了，现在有上面两大前提，我们就可以对(3)式进行处理了。分数的括号里，都是1与素数的倒数平方的幂和，这里已经列举了所有素数，倘若我们对这个分母全部进行展开，我们就将获得全部自然数的倒数平方的幂和，因为这里的素数平方会跟其余所有素数都乘上一次。

于是，我们继续下面的工作。

等式4

这里的(4)式分母恰好是全体自然数的倒数平方和，接下来该怎办呢？没办法，我们又要请出大神欧拉了。

欧拉大神再次登场

1735年，28岁的欧拉历史上第一次求出这个级数的和，这个曾经难倒莱布尼兹，牛顿的超级难题，从此名扬天下。下面简单看下欧拉的超神解法。

欧拉关于巴塞尔级数的求解

于是巴塞尔级数的和是π^2/6=1.645，那么P=1/1.645≈0.6079。这与我们一开始仅枚举10以内的任意两数互质的概率0.63，就已经很接近了，说明了这个概率会随着自然数范围的扩大而迅速收敛！

巴塞尔旖旎风光

虽然没有明确资料表示第一个求出任意两个自然数互质概率的人是谁，但晓然菌觉得很大可能就是欧拉。因为在欧拉的18世纪，数学工具还是很少的。你想求出这个概率，不管你用什么样子的开头，到最后都会归结于求巴塞尔级数的和，而欧拉作为第一个求出巴塞尔级数的人，又怎么会放过这么一个如此精彩的成果呢？

那么，假如有同学要继续扩展，任意取出3个自然数互质的概率又是多少呢？这不是晓然菌钻牛角尖，这样的问题历史上当然也有人研究过。采用类似的办法，当最后，你就会得出一个全体自然数倒数的立方和是多少？

黎曼大神为素数问题操碎了心

很遗憾，这个全体自然数倒数的立方和用欧拉的方式就行不通了，欧拉的方式只能针对于自然数倒数的偶次方幂和。事实上，这个立方和的确存在，但是你不能用任何有理式来表达，你只能通过无穷级数来表示。

数学史上，总不缺乏那些充满毅力的人，很早就有人计算得出，全部自然数倒数的立方和约是1.2021，那么任意三个自然数互质的概率就是1/1.2021=0.838，任意四个自然数互质的概率是1/(π^4/90)=0.924。这也符合我们的直观感受，你一次性取的自然数越多，那么它们都互质的概率就越大。

高斯也操碎了心

从这么个小小的问题上，我们也不难发现，任何跟数字相关的研究话题，到最后本质上都会归结于素数的某些性质。从两千年前的欧几里得时代到现在，素数的奥秘仍然被揭示得很少。18,19世纪是数学各个领域开疆拓土的最好时代，在那个伟大的时代里诞生了的数学大师们仍然在影响着现在。