三角形（十二）

接着上回的例子，我们接着往下看三条线和全等三角形的结合。

事实上，平面几何中我们还可以做一种类型的训练：即逆命题的训练。

比如上一节中我们举的例子，其实原来的结论就是如果两个三角形全等，那么对应的高、中线、角平分线相等。现在就考虑对应的高、中线、角平分线相等，那么两个三角形是否能够全等的问题。

大部分的平面几何题目都可以做类似的训练：把某个条件和结论互换位置，看看能否推出来，这样一个题目至少能变成两个题目来做。

当然，有时候逆回去结论不一定对；有时候逆回去题目变得非常难。

比如说全等三角形面积相等，但是面积相等的三角形不一定全等，这个就是逆回去结论不一定对，而且非常容易证的。

逆回去很难的情形呢？

别着急，慢慢来。

我们来看接下来的这一组命题：求证，等腰三角形腰上的高、角平分线、中线都相等。

什么是等腰三角形？

一个三角形中如果有两条边相等，那么这个三角形称为等腰三角形。

我们很容易通过全等来证明这几个结论的正确性，这个可以作为练习自行证明。接下来就是前面所讲的训练方式：逆回去看。

如果一个三角形中，有两条高、中线、角平分线相等，这个三角形是不是等腰三角形呢？

答案是肯定的，但是难度？

我已经从易到难给您排好了。我们先从最简单的看起。

求证：有两条高相等的三角形的是等腰三角形。

这个证明真的很简单，毕竟目标明确，就是证明AB=AC，∠A公用，∠ADC=∠AEB=90°，CD=BE，所以△ADC全等于△AEB，于是AC=AB，证毕。

都说了很容易。

接下来：有两条中线相等的三角形是等腰三角形。

这个就不那么好做咯~

事实上，我们要用到的工具已经超过了全等三角形的范围。我们知道，三角形三条中线交于一点，这点称为三角形的重心。重心有一个很重要的性质，就是把任意一条中线分成2:1的两段。

于是我们得到DO=CD/3=BE/3=OE，OC=2CD/3=2BE/3=OB，∠DOB=∠EOC，马上可以得到△DOB全等于△EOC，所以BD=EC，推出AB=AC。

最后一个：有两条角平分线相等的三角形是等腰三角形。

用这个题目我曾经坑过很多无辜的孩子，由于经历过前面两个例子，有一些学生，特别是好学生，觉得这个题目不在话下。

然后就开始绞尽脑汁，然后就没有然后了。

事实上这个题目大有来头，这是第一届IMO（国际数学奥林匹克竞赛）的题目，虽然彼时的题目难度和今天相比不可同日而语，但是吊打99.99%以上的初中生还是绰绰有余了。

证明方法并不是通过简单的全等，而是通过反证法才能证明。