2. 回顾编写思考

对于数学教辅资料,大家可能更感兴趣的是高质量数学习题的总结和具体的解法,但作者更想呈现的是对数学的理解、研究问题的思路、看问题的观点、教与学的思考乃至教育的反思,为了实现这一目标,直接把这些内容放在了书的最前面,最长的篇幅高达 18 页,有不少读者拿到书,惊呼这本书居然没有目录,在作者看来,编写的思路和精神更甚于内容,也蕴含着对知识的理解和处理的观点。下面作者再不凡其烦地介绍编写这六本书的最核心的思考。

《高观点下全国卷高考数学压轴题解题研究三部曲》追求形而上的“道”,但对于绝大部分学生和老师追求,或者说迫于更多地去追求形而下的“术”,通过做一些经典的题目,总结出“术”,这个来的直接,短期见效快,与家长们对分数迫切地追求是吻合的,所以很多老师和学生在不自觉中成了金庸笔下的“剑宗”,演绎到极致,亦是一等一的高手,其实“剑宗”和“气宗”没有绝对的存在,真正的高手,都是剑气双修。道为术之魂,术为道之体,希望通过经典题目的解析、反思、点评和变化悟道驭术。求道是极其困难的,有时候仅仅为了写一段或一句话,会去查阅大量的资料、听大量的视频,花大量时间去了解数学的历史、科学的一些重大突破、读晦涩难懂的哲学书,深感自己水平太有限,希望此书能够得到广大读者的指导。

压轴题的突破不是“急”出来的,急功近利,适得其反,在这个地方学生和老师应该更多地去感受“学习是一种慢的艺术”,有“众里寻他千百度”的困惑、纠结、摸索的必经过程,才有“蓦然回首,那人却在灯火阑珊处”的顿悟和惊喜,所以我们追求“一题一世界,一变一天堂,一解一析一境界,一思一评一涅槃”。

当高考较为简单的时候,我们发现很多顶尖名校分数与生源极其不匹配,而有些一般的重点学校考得非常好。全国卷文科数学注重的是文理的差异,文科数学对特优生根本没有任何的区分度,比的是谁更仔细和勤奋,甚至谁更愿意花更多的时间做很多机械性的、毫无意义的重复性活动,竞赛和自主招生应该是区分特优生很好的方式,也越来越成为一种趋势和主流,很多顶尖学校的优秀学生都去搞竞赛,知识面很宽,难度很大,花费很多的精力,如果学生在其中如鱼得水,那绝对是最优秀的人才,但这仅仅限于很小很小一部分人。在教学的过程中,我们发现不少非常优秀的学生,即使自己分析过、做过的全国卷的压轴题,不到一个月遇到类似的题目,却无法在规定的时间内突破,这说明其解题思路需要巩固、强化。反复研究全国高考卷的考查特点,针对全国卷高考,强化基础、注重细节,把更多地精力用于凸优补差,力求各科都得到较好地发展,在高考中,反而比很多搞竞赛的学生取到更好的成绩。基于此,作者认真阅读从 2006 年到 2018 年《中国考试》这本杂志中与数学高考相关的文章,反复揣摩从 2009 年到 2017 年考试中心的试题分析,了解高考命题者的一些思考,这本书以全国卷高考压轴题为核心,从全国各地的模拟题中选择与其命题思路相吻合的题目,作为变式,也花大量时间进行改编,比如导数题目中,把指数函数改为对数函数、三角函数,改编参数的位置等等,进行了各种尝试,很多时候牵一发动全身,有时候改一个题需要花上几个小时,却全然无果,有时候也需要灵感,其过程甚为艰辛,但却不免瑕疵,希望能够抛转引玉。

很多全国卷高考压轴题源于竞赛和自主招生考试,现在也会遇到相互改编的情况,于是只把高考压轴题研究限于高考题,也是不合适的,为此作者从 1987 年到 2018 年全国数学高中联赛一试试题, 2006 年到 2018 北大清华的自主招生试题选择了和高考有关的试题融入其中,使得其更加丰富。

《新课标新高考下的数学习题精粹》一书让学生触及到课改的理念,并在高考真题中感悟。新加坡有学者认为中国基础教育的成绩主要取决于“变式教学”,这本书追求系统性变式,把变式分为了两个方向,即横向变式和纵向变式,横向变式主要指的是同一个知识点“质同形异”的考查,即正向、逆向通过不同的语言、不同的方式来呈现,同时注重知识的联系;纵向变式,是不断深入,从教材的题到高考题,再到自主招生考试和竞赛试题,让学生在不自觉中走向了思维的深入,而纵向变式把波利亚的幸运变成必然。波利亚说:如果我们在解题的时候,能够想到一个类似的题目,我们是非常幸运的,因为往往此题的思路可以为我们所用。此书呈现的思路是:“例题......变式......拓展”,当学生思考压轴题遇到困难的时候,可以退回来,看看例题及变式,它们的思路和压轴题是一样的,这样就把波利亚所谓的幸运变成了必然。也只有学生发现压轴题和简单题目是一个思路的时候,其解法才会朴素与自然,也只有这样才可以把压轴题当常规题做的时候,才会真正地突破压轴题。

《解析几何的系统性突破》一书首先是追溯了笛卡尔发明解析几何的心路历程,带着大家一起感受笛卡尔对几何和代数研究的深入思考。并在高考层面,结合全国卷的高考题目对“方法本质”和“问题本身”进行了深入地剖析,感悟命题思路,具体编写的时候,力求打破章节的限制,根据其共同的问题及处理方式把各种曲线统一为一个系统来解读。在前言中让大家感受金庸的“武学”之道就是经典的学习之道;也提及解题的哲学思考;通过系统性地变题,实现举一反三和学科素养的培养,希望学生得到一个命题,从 5 个方面进行思考。读微积分学简史,知道积分学的萌芽是 2000 多年前的阿基米德在《抛物线求积分》中用穷竭法求抛物线弓形的面积,现代史学家波耶认为,在微积分所有的先导工作中,费马和巴罗(牛顿的老师)最接近分析学,牛顿在《流数术》中陈述了所研究的基本问题是“已知量的关系,要算出它们的流数;以及反过来。”正是这一点,是牛顿超过了所有微积分的先驱者,牛顿完整地提出微分和积分是一对逆运算,并且指出了换算公式,这公式现在称为牛顿——莱布尼茨公式,或微积分学的基本定理。“反过来,成立吗?”正好是我们第 4 方面的思考。

《高观点下函数导数压轴题的系统性解读》首先通过以课标或考试说明为唯一标准的困惑,提出要站在学生的发展的需要来定位,站在学科整体发展的意义和思想价值立意来思考;紧接着从 7 个方面回答“什么是高观点”,通过高考压轴题的突破展示高观点思考的魅力,无数事实证明现在解题教学中,学生的观察能力受到极大的削弱,作者认为思维力的活跃首先在于观察力的敏锐,而激活学生的观察力最实际的是从学生绝大部分时间的解题活动中去突破,从七个方面进行论述。

《立体几何的微观深入和宏观构建》(结果“构建”在不小心成了“把握”)一书首先是基于新课改在立体几何地方的重大调整,从宏观到微观,这符合学生的认知规律,降低了门槛,对很多学生来说,载体的合理运用使得空间观念的建立更为容易,有利于培养空间想象能力,但从解题来说,学生必须经历“宏观——微观——宏观”的过程,因为第一次宏观认知正方体的结构,体积表面积的计算,三视图的相关问题的解决都依赖于微观层面对点线面的准确认知,很多一轮复习资料都还是按照新教材的顺序去编写,造成了很多浪费,此书编写从微观到宏观,基础好的学生和一轮复习的学生可以一步到位。第一部分 8 个专题分析全国卷的考查特点,第二部分分 40 个专题来突破立体几何。

《全国卷高考数学分析及应对》指出研究高考题需要哪些材料,通过大量的数据和资料分析考试的难度、信度、效度和区分度;对高考的难题、中高档题、得分率低的题目都做了一一分析,给出了 14 个方法去研究高考题目,思考如何改编高考题目,吻合全国卷的题目思路。宏观分版块解读全国卷的高考题目,微观对全国卷考查特点进行赏析。也有对教材、课标、核心素养的研修,对解题和心态做了一些思考。在单独赠送的小册子里对导数压轴题做了一些思考,并且花了很多功夫去介绍上升到哲学层面去思考解题。

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