模型 | 高中数学中构造隐圆解题的途径与方法梳理（优质）
圆是一种非常完美的图形，具有很强的对称性和很优美的性质．因此，若能借助圆的一些性质进行解题，往往能达到化难为易的效果．笔者在教学过程中发现，有很多表面上看起来与圆无关的问题，若能通过细致的观察，实施一定的策略转化为圆的问题，往往能达到意想不到的效果，能突破解题的瓶颈．通过构造隐形的圆并转化为与圆有关的问题，体现了数形结合和化归与转化的核心数学思想，是实施变式教学的重要途径与手段．下面笔者结合近几年来的各类试题，谈谈如何构造隐圆解题，供大家参考.
一
双变量问题
评注：本题含有两个变量与根式，通过观察，发现两个根式的平方和即为所求．通过实施换元策略，转化为常见的点与圆的最值问题，从而降低了解题的难度.
评注：本题所求Ｐ的表达式具有较强的几何意义，通过对代数式的几何意义的挖掘，转化为直线与圆的最值问题.
二
函数值域（ 最值） 问题
评注：本题有多种解法，如三角换元法、基本不等式法、导数法，二次函数法．而通过对函数表达式的细致观察，可转化为与圆有关的斜率问题.
评注：本题借助平面向量，构造隐圆，转化为与圆有关的向量数量积问题，令人耳目一新.
三
解三角形问题
评注：本题若用解三角形的方法求解，要复杂得多．通过建系，发现点Ｃ在圆上运动，此圆是非常著名的阿波罗尼斯圆，是源于课本的一道经典考题.
评注：本题常规方法是利用正弦定理，并借助三角恒等变换进行求解．而通过余弦定理，在进行适当的代数变形，转化为与圆有关的线性规划问题，具有四两拨千斤之效．
评注：本题是经典的解三角形问题，但是常规方法运算量大，通过正弦定理，发现点A在圆上运动，从而转化为与圆有关的常规问题.
四
平面向量问题
评注：注意到向量具有数与形的特征，故可结合图形思考，不难发现O、A、C、B四点共圆，然后利用圆的性质和三角形全等的判定知识，实现问题的解决.
评注：通过建立平面直角坐标系，把向量问题转化为解析几何问题．本题的关键是通过把向量的模转化为两点间的距离问题．同时，通过消参，发现点Ｐ在线段上运动， 而点A又在圆上运动，从而转化为有关直线与圆的最值问题．
五
解析几何问题
评注：本题通过挖掘，发现直线Ｚ经过定点，当直线Ｚ不经过点Ｐ时，通过圆的性质， 可发现点Ｍ在圆上运动，从而实现问题的快速求解.
评注：通过观察，发现A、O、B、Ｐ四点共圆，同时可求出此圆的方程．于是即为两圆的公共弦方程，两圆方程相减，即可快速得到直线的方程．这是源于课本的重要方法， 应引起足够的重视．
评注：本题的常规方法是通过复杂的运算， 运用弦长公式求出AP的长度，利用
求出|PQ|，而本文给出的解法，通过构造隐圆，利用圆的相交弦定理，能实现问题的快速求解，无疑是一种非常理想的解法．