2021 第 62 届 IMO 第一题详解
引言
问题
设整数
。伊凡把
的每个数写在不同的卡片上，然后他将这
张卡片打乱顺序并分成两堆。
证明：至少有一堆中包含两张卡片，使得这两张卡片上的数之和是一个完全平方数。
分析
首先应该从最简单的情况进行考虑，而不是一开始就分析所有的完全平方数。我们应该考虑一种退化的情况，也就在
这些数中，是否存在三个数
它们两两之和都是完全平方数？如果是这样的话，问题就迎刃而解了，因为由抽屉原理，这三个数必有两数落入同一堆。
从而此题的重头戏在于从
这些数中，构造出三个数
它们两两之和都是完全平方数。
构造方式可能不唯一，但我们需要找一种最利于我们证明的构造方式。仔细思考，如果反过来找三个完全平方数，让它们成为三个数
的两两之和，我们肯定希望这三个完全平方数尽可能靠近，从而
的极差不会太大，更容易落入
这些数中。从而，我们选择三个连续的完全平方数，是最利于我们构造的。
以上是解此题的详细思路，希望读者在阅读以下解答之前可以自己尝试一下。下面给出此题的详细解答。
解答
对于给定的正整数
，可以取一个正整数
，使得
(见附证)。此时，考虑三个正整数
由
的取值范围知：
也就是说
可以视作
中的三个不同的数。而它们两两之和为完全平方数，即
从而，若把
这些数分成两堆，由抽屉原理知，
中必存在两个数被分在同一堆，而它们的和是完全平方数。证毕！
附证：设正整数
，则存在正整数
，使得
证明：
考虑所有形如
的区间，
为正整数，它们的并集可以覆盖所有
的实数，即存在正整数
，使得
由
的范围知
，那么此时有：
0.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,'>
也即
从而
证毕！
点评
这是本次 IMO 最简单的一道题，我也是花了不到半小时解决的。 其实，这道题只要能够想到构造三个数
它们两两之和都是完全平方数，那么此题就迎刃而解了。
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