弗雷格的数学哲学及自然数的概念，纯粹数学分析的基础

• 戈特洛布·弗雷格（Gottlob Frege）的半身像

经验主义和理性主义，数学哲学中最重要的两个观点

这是数学哲学中两个最基本的观点。因此，我可以简单地说，任何一位数学哲学家都必须对这两种观点表态，戈特洛布-弗雷格（1848-1925）讨论了密尔的经验主义思想和康德关于数学性质的理性主义思想，并在他的《算术基础（ The Foundations of Arithmetic）》中为自然数提出了一个新概念：对数的概念的逻辑数学探究。

弗雷格的自然数的概念

客观的东西，比如说“北海的面积是1万平方英里，那么无论是'北海’还是'1万平方英里’，我们都没有提到我们头脑中的任何状态或过程”：相反地，我们在说一种相当客观的东西，这种客观的东西独立于我们的理念和一切思想之外。

但是，尽管他说的是客观性，否定我们头脑中的过程，但他根本就不是一个经验主义者。对他来说，每个自然数的概念都应该只用数学和逻辑的对象来构建。主要是因为根据他的说法：

一个命题为真和它被认为的是不一样的。

也就是说，与纯粹的心理学（和经验学）对象不同，仅仅因为某个东西被认为或存在，并不意味着它在逻辑和数学中是真的。

对弗雷格来说，数学和逻辑对象具有不同的性质，它们是纯粹的分析性的，按照他的说法，将一个命题归类为综合命题或分析命题的最好方法是看看使这样一个命题成为真的或假的理由。也就是说，如果一个命题需要经验元素才能成真，它就是综合的，如果不需要，它就是分析的。他说：

在我看来，先验和后验、综合和分析之间的这些区别并不涉及判断的内容，而是涉及作出判断的理由（FREGE, 1980, p.3 / §3）。

现在让我们看看弗雷格是如何阐述数字0、1以及所有其他自然数的概念的。

自然数 "0 "的概念

“0”的概念是指没有与自己相同元素的集合，与其他没有属于它的元素的集合相比，它就像一个“数字”。

因此，当你说 "篮子里没有苹果了 "时，根据弗雷格的数学哲学，你是在将 "篮子里剩下的所有苹果的集合 "与弗雷格的零概念进行比较。

自然数 "1 "的概念。

至于数字1，弗雷格指出，两个相邻数字的概念必须以某种方式联系起来。在《算术基础》中，弗雷格说：

为了证明自然数的数列中每一个数后面都有一个数，我们必须提出一个数的概念，这个数就属于这个数 。

为了满足这一点，他指出，按照自然数的顺序，作为自然数概念的集合必须包含所有最小的自然数概念的 "扩展 "之和。所以这个数字包含在1的概念中，因此，有助于构成“数字1”的弗雷格定义的是它更小的相邻数——数字0。

1是属于 "与0相同 "的概念的数。

请注意，这使得 "自然数1 "的概念只包含一个元素（0），而这样的概念允许我们在纯分析的条件下确定什么是 "自然数1"。

那么，当你将弗雷格的自然数1的集合与另一个只有一个元素属于它的集合进行比较时，你就成功地将弗雷格的自然数1的概念作为一个自然数。或者，你将使用弗雷格的自然数1的概念作为另一个集合的分类。

弗雷格的其他自然数的概念。

其余数字的概念也是根据所有 "前面的数字 "的 "延伸 "得到的，见图片。

三个重要的概念。基数、外延和等数

为了对这些概念有一个更完整的理解，让我们来看看基数、外延和等数的概念。这三个概念被弗雷格认为是如下：

基数是指找到一个集合的基数的可能性，它将根据属于一个集合的元素的和来度量（定义）。例如，在康托的集合理论中，这个概念（基数）允许我们说某些无穷大比其他无穷大大。

等数的概念表示具有相同基数的集合之间存在相等的可能性。弗雷格对这个概念的理解如下:

属于F概念的（基数）数与属于G概念的（基数）数相同（相等），只要F的对象与G的对象之间存在一一对应的关系。

弗雷格还对 "等数 "的概念作了进一步的解释：

如果直线a与直线b平行，那么 "与直线a平行的直线 "这一概念的外延就与 "与直线b平行的直线 "这一概念的外延相同；反之，如果刚才提到的两个概念的外延相同，那么a就与b平行。（......）要把这一点应用于我们自己的数的情况，我们必须用直线或三角形的概念来代替平行或相似，把属于一个概念的对象与属于另一个概念的对象一一对应起来的可能性。为简洁起见，当这个条件得到满足时，我将说概念F等于概念G。

至于“外延”的概念，我想说的是，它是连接基数和等数概念与量化的关键概念。弗雷格用“外延”这个词来联系“函数”和“对象”，在他看来，概念F的外延就是“概念F的值的过程”。

但 "值的轨迹 "是什么意思？例如，笛卡尔平面上一个函数的x轴和y轴都可以包含自然数的升序。

弗雷格的理性主义和他对经验主义的论证

正如我们在上一节中所看到的，弗雷格在他的定义中只采用了分析性元素。他并不像米尔那样明确地诉诸经验主义的概念。根据米尔的说法，数学计算是观察事实的一个结果。他说：

(......)计算不是来自定义本身，而是来自观察到的事实问题。

对此，弗雷格回答说：

根据米尔的观点，我们实际上不可能把1,000,000=999,999+1，除非我们观察到一系列的事物正是以这种奇特的方式分裂开来。

弗雷格还在《算术基础》中指出，这种严格的经验主义算术观将难以解释数字 "零 "和 "1"。毕竟，有什么 "物理事实 "可以给自然数0和1以经验上的支持？

弗雷格的自然数概念是最充分的吗？

弗雷格使用新的形式资源（集合和命题函数）来创造新的逻辑哲学。在某种意义上，他的工作比皮亚诺的工作更深入，皮亚诺也试图制定算术推理的基础（见皮亚诺的五个公理）。

然而，弗雷格也面临问题。罗素悖论和哥德尔定理使康托尔的集合论，以及整个逻辑主义看起来有缺陷。

事实上，甚至在哥德尔不完备性定理之前，就已经有了反对弗雷格的数学基础的有力论据。例如，庞加莱（1854-1912）指出了形式主义和逻辑主义的弱点，正如格雷所承认的，庞加莱在他的一些批评中 "被证明是正确的"。

关于 "弗雷格与康德 "辩论的几点说明

弗雷格没有像斯图尔特-米尔那样把他的数学哲学建立在具体的量纲上，他也不同意康德关于数学命题具有综合性质的观点。如我们所见，弗雷格选择了一个纯粹的数学分析基础。

然而，这并不简单，比如说，"空间和时间"（康德认为是直觉的纯粹形式）将无助于构成弗雷格的数的概念。毕竟，例如，弗雷格使用 "外延 "的概念来实现他的自然数的概念，而 "外延 "是一个与空间概念极其接近的概念。弗雷格甚至在几何推理中使用了这个术语，他说：

如果直线a与直线b平行，那么 "与直线a平行的直线 "这一概念的延伸与 "与直线b平行的直线 "这一概念的延伸是相同的。

因此，我认为弗雷格与康德思想的关系更值得关注。

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