我是苔米数学
一枚家有小学生的名校高中老师
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写在前面：
大乐是个特别认真的数竞生，每次遇到自己想不出来的题总是会过来请教老师。星期二，大乐过来，说了自己最近在学习数学竞赛方面的困惑：一是遇到代数题没思路，不知道从何练起，二是几何题有时可以一针见血，有时毫无头绪（辅助线，图形理解），三是题目做到一半做不动了，很想看答案.
首先，苔米认为在遇到困难时能与老师沟通进而获取老师的指导是十分明智的举措，这样一来避免自己走弯路，二来能够增加师生感情和默契。
我很想帮助大乐，但是我觉得有人的回答比我的更有效果，于是我把问题发给了一哲同学。
王一哲，邯郸一中2020届毕业生，优秀的数竞选手，从小就是数学学霸，热爱数学，现就读于西南大学数学系。
说来也怪，在教一哲同学不到一年的时间里，我们几乎没什么沟通，连眼神碰撞都很少，因为上数学课时他总在低头做自己的，对于这样的数竞大佬，我一般是不去招惹的。在高考前夕，我在班里辅导，一哲同学带着他写在纸上的几个问题来向我咨询，当时觉得特别意外，更意外的是在毕业聚餐上，竟然还收到了一哲同学的礼物，附带的卡片上写到他读了免师，以后也会成为一名数学老师，并问了有关当数学教师的几个问题。我通过李彬加了一哲同学的qq，对他提出的问题做出了答复，并在就业、写作方面又聊了些，发现这孩子特别健谈，挺大方，也挺亲切。
把问题发给一哲后，他回复说，写的比较多，对话框都装不下了，就做成了文档，还很谦虚的说“内容可以稍看看”。
往下看，您就知道这答疑真的是很用心了——
下面是学长王一哲的答疑
首先说明，数学竞赛问题当然是有难度的。事实上，这也正是它有意思的一个方面。
虽然说几何、代数、数论方面我远远算不上大佬，但是关于思路的寻找问题，我还是可以结合经验谈一谈（本文全是个人经验）。
竞赛方面的题目，绝大多数人都是几何题做的最多。这也就决定了几何题的思路寻找可能跟其它版块不同。学弟提到“有时可以一针见血，有时却毫无头绪”，这是非常正常的，因为总有的题目十分新颖，总有的图形结构十分特殊，总有的辅助线添加是神来之笔。所以，没有必要追求每一道题的辅助线添加十分精准，也没有必要要求自己完全搞懂每一个几何构形（当然，这因人而异，有兴趣研究当然好）。有些题目就是让你去欣赏、去惊讶、去吐槽、去一笑而过的，实在没有必要过分在意。回到思路寻找的问题。想要看到一个题目就不怕，看到一个题目就敢上手。清楚常见的几何构形及一些基础结论、稍高级点的结论是一个基本条件，做过充分多的题目是另一个基本条件。如果说你自己很清楚这两点没有做到，那么基本功就没有打扎实，那便不必多谈思路问题。
如果说做到了，那么这里我还可以谈两点。第一点：碰到问题，是不是能坐的住，是不是能耐下心去思考，有没有坚持不找答案的习惯。第二点：做几何题目，你是不是有自己的一套体系或者处理方法。拿我个人举例，拿到一道几何题目，在尝试添加辅助线、研究图形、观察结构、寻找条件之后如果还没有思路，那么我一定会看看可不可以直接计算，比如三角，或者建系（不要瞧不起建系、三角，也不要怕麻烦，当你发现想算却没那个计算能力才难受。）。这就是我自己的一套体系。小结一下，就是要扎实基本功、沉得下心、提炼出自己的一套体系。代数方面，我个人的感觉是难的比较难，简单的比较简单。真正的能被你解决的中高档题目不太多。当然还是有一些方法的，以3元、n元不等式为例（目前还是考的比较多）。基本条件当然还是基本功要扎实、沉的下气、有自己的一套体系。这体系的建立是要下一定功夫的。比如小蓝本柯西不等式、均值不等式刷过没有（小蓝本改版之后我也不知道有没有这两本了），代数变形刷过没有，稍微难一点的不等式的秘密，命题人讲座刷过没有，中等数学上的各国代数题看过多少，各种代数培训的讲义有没有整理。而且，虽然每个人的习惯不一样，但是一定要有自己的一套整理、记忆的方法。那样的话，体系就可以建立起来，拿到问题也有自己的一套处理办法，比如说均值、柯西、切线法、调整法、暴算、归纳法、高级不等式、高级结论、你掌握的引理等等。数论方面，学知识不难，上手做题不容易。大多数人对数论的训练相对比较少。所以我感觉，数论题目是要凭一定天赋的（比如裴源俊，数论极强），当然，天赋往往跟兴趣挂勾，而有了兴趣自然会多看多练，水平自然高。对于普通人来说，数论我建议以打好基本功为主，各种基本的处理方法，如分类、归纳等等，要掌握住、记住，不能仅停留在“我见过这种方法”的阶段，很难的问题能学则学。对自己有更高要求的同学，有机会可以多参加数论培训，比如纪春岗的培训，很实用，讲义可以反复揣摩。教材的奥赛经典是基本，提升的话命题人讲座是很不错的。有了基本功，和自己学到方法的整理、吸收，大多数题目不会一个字也写不出来的。最后我建议，无论你的数论水平多么高，也尽量不要把宝押在数论上面，比如认为自己联赛在数论题上一定能拿分，还是应该打好几何、代数的基础。另外我再说两句，关于持续的独立思考这个问题，不是说让你对着这个东西看几个小时，而是说一种状态上的连续思考。比如说，一个几何题，我今天做了一两个小时没做出来，我明天可以再想一想，后天可以继续想，甚至可以一直在脑子里挂着这个题。并且，绝对不要认为想了一两个小时没做出来是一种浪费时间，这种训练很宝贵、很有意思、很有意义，是值得珍藏的。赵斌老师（杭州二中竞赛老师，解题极强）有一次在解决难题后被问到：“你的思路是哪里来的？”他回答到：“这个题我想了六个小时，你问我怎么想出来的”言辞虽犀利，但也表达了连续思考的重要和价值。还有一点，交流经验只是别人的分享，并不能成为你自己的东西，也没必要成为自己的东西。优秀的竞赛选手都是靠自己的天赋加努力，想着仅靠老师教或别人讲是绝对不行的。
作者：王一哲，邯郸一中2020届毕业生，现就读于西南大学数学系
