正三角形中的手拉手模型

我们常常会遇到这样的问题：问题的背景是正三角形，然后又会出现一个正三角形绕着原正三角旋转，这时往往会出现全等三角形，从而出现等角或等线段。我们形象地将这两个等边三角形称为“手拉手三角形”。

如上图所示，手拉手三角形不仅仅存在与共顶点等边三角形中，只要两个图形(正三角形、正方形、等腰直角三角形、等腰三角形)是“相似”的，即对应边成比例，对应角相等，那么联结对应顶点，就会出现全等三角形。

解法分析：本题中的▲ABC和▲COD是共顶点的相似的“手拉手”等边三角形，由此产生了一组全等三角形，即▲BOC≌▲ADC，由此可以用含α的代数式表示出∠OAD、∠ADO的度数，继而达到①判定▲AOD的形状；②判定▲AOD是等腰三角形(从角出发分类讨论：∠OAD=∠AOD，∠OAD=∠ADO，∠AOD=∠ADO)。

链接：等腰三角形的存在性问题讨论

(根据已知条件，确定到底是从角出发分类讨论还是从边出发分类讨论)

解法分析：本题中的▲OAB和▲CBD是共顶点的相似的“手拉手”等边三角形，由此产生了一组全等三角形，即▲BOC≌▲ABD，由这组全等三角形，得到∠BAD=∠AOB，可以得到∠CAD的度数。由于OC>1，则▲EAC为钝角三角形，若▲EAC为等腰三角形，有且仅有EA=AC的情况，而∠EAO=60°，因此得到EA=2。

解法分析：本题中的▲ABC和▲MDN虽然不是共顶点的等边三角形，但是联结DE、DF、EF后，即可将▲ABC分割成4个全等的等边三角形，由此可以得到一组全等三角形，即：▲DNE≌▲DMF，利用全等三角形对应角相等，得到∠DEC=∠DFN=60°，从而说明点F在线段EN上。第2、第3问中，虽然点M在线段BC或线段BC延长线上，但是仍旧有▲DNE≌▲DMF，线段间的等量关系依旧存在。再次说明了不论点在线段或其延长线上，辅助线的添加方法或解法思路是完全一致的。

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