初中数学：铅垂高法推导及其在二次函数求面积中的巧妙应用

一、什么是铅锤高法？

过△ABC的三个顶点分别作与水平线垂直的三条直线，垂足为M、E、N。MN的长度就叫做△ABC的“水平宽”，中间的这条垂线AE在△ABC内部线段的长度AD就△ABC的“铅垂高(h)”，我们可得出一种计算三角形面积的另一种方法：S△ABC＝1/2MN*AD，即三角形ABC面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半。

二、用等积法推导铅垂高法

证明：如图，AD把△ABC分成两部分△ABD、△ADC

若以AD为底，则ME、NE分别为△ABD、△ADC的高

S△ABC = S△ABD+ S△ADC

= 1/2ME*AD + 1/2EN*AD

= 1/2MN*AD

即三角形ABC面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半

数学学习

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三、铅锤高法在二次函数求面积中的巧妙应用

注意：在二次函数中，应用铅锤高法，通常把“水平宽”映射在x轴上，少数情况也映射在y轴上。

例1、已知：如图，二次y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为（-1,0），点C(0,5) ，另抛物线经过点(1,8) ，M为它的顶点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）解：过点M作MN∥y轴交BC轴于点N，则△MCB的面积=△MCN的面积+△MNB的面积= MNOB÷2.

∵y=-x2+4x+5=-（x-5）（x+1）=-（x-2）2+9，

∴M（2，9），B（5，0），

由B、C两点的坐标易求得直线BC的解析式为：y=-x+5，

当x=2时，y=-2+5=3，则N（2，3），

则MN=9-3=6，

则S△MCB= MN*OB/2 = 6×5÷2=15. （铅垂高法）

如果用一般的割补法：S△MCB = S△MEB + S梯形MCOE - S△MCB ，那么计算量会很大。

下面我们再来看一道例题：

例2、如图1，抛物线y＝－x＋bx＋c与x轴交于A(1，0)，B(－3，0)两点。

(1)求该抛物线的解析式；

(2)设(1)中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)如图2，在(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若没有，请说明理由。

解 ：(1)抛物线解析式为y＝－x－2x＋3；

（2）Q(－1，2)；

（3）如图6，作PE⊥x轴于点E，交BC于点F．

设P点（x，－x－2x＋3）（－3<x<0）．

∴点P坐标为（－3/2，15/4）

由例题1和2，您是不是发现掌握了铅垂高法，在二次函数中求面积就会变得异常简单呢？