指数爆炸

指数爆炸的概念:即指数函数的“爆炸性”增长(blow up)。中文名指数爆炸对象乘方a外文名blow up意义指数函数的“爆炸性”增长目录1概念2事例最多对折次数百万富翁破产国王放米1概念编辑指数的概念:在乘方a中,其中的a叫做底数,n叫做指数,结果叫幂。f(x)=a^x (a为常数,如图1中a=2 x为指数) 随着x单位长度的递增,f(x)会呈“爆炸性”增长

图1 指数函数y=2^x的图像x1=0 f(x1)=1x2=1 f(x2)=2x3=2 f(x3)=4x4=3 f(x4)=8x5=4 f(x5)=16x6=5 f(x6)=32x7=6 f(x7)=64·· ······ ······ ····x21=20 f(x21)=10485762事例编辑最多对折次数一张纸对折一次,厚度变成原来的2倍。再对折第二次,变为原来的2的2次方倍即4倍。以此类推,假设纸的厚度为0.1mm,则对折24次以后,长度超过1千米;对折39次达55000千米,超过地球赤道长度;对折42次达44万千米,超过地球至月球的距离;对折51次达22亿千米,超过地球至太阳的距离;对折82次为51113光年,超过银河系半径的长度。不过,只是一个不符合实际的数学理论推理数字。那么在现实生活中,一张纸究竟能折多少次呢?如果纸为正方形,边长为a,厚度为h,当折叠一次的时候,折叠边长不变,厚度为2倍的h,折叠两次的时候,折叠边长为原边长的二分之一,厚度变为4倍的h,就这样折叠下去,可以推出一个公式:当折叠次数n为偶数次时,折叠边长为l/(2^(0.5*n)),厚度变为2^n*h,当满足n>2/3*(log2(l/h)-1)时无法折叠。根据一般的纸张的状况,厚度大约为0.1mm,边长为1m时,根据以上公式,可以得出n>8.1918时无法折叠,这意味着对于厚度大约为0.1mm,边长为1m的正方形纸,只能折叠8次。但8次人类是很难办到的,只能依靠机器。所以,一张纸最多能对折多少次实际是一个变数,它取决于纸张的实际厚度与大小。在现实生活中,一张普通的A4纸,一般人可以折到6次,厉害的人可以折到7次。百万富翁破产杰米是百万富翁。一天,他碰到上一件奇怪的事。一个叫韦伯的人对他说:“我想和你订个合同,我将在整整一个月中每天给你10万元,而你第一天只需给我1分钱,以后你每天给我的钱是前一天的两倍。”杰米说:“真的?!你说话算数?”合同开始生效了,杰米欣喜若狂。第一天杰米支出1分钱,收入10万元。第二天,杰米支出2分钱,收入10万元。到了第10天,杰米共得100万元,而总共才付出5元1角2分。到了第20天,杰米共得200万元,而韦伯才得5千元多。杰米想:要是合同订二、三个月该多好!可从21天起,情况发生了转变。第21天杰米支出1万多,收入10万。到第28天,杰米支出134万多,收入10万。结果,杰米在一个月(31天)内得到310万元的同时,共付给韦伯2千1百多万元!杰米破产了。国王放米在古印度有个叫锡塔的大臣,他聪明过人,发明了一种棋子,国王百玩不厌,于是决定重赏锡塔。锡塔说:“陛下,我只要一点麦子。请您让人将麦子放在我发明的棋盘的六十四个格子内,第一格放一粒,第二格放二粒,第三格放四粒,第四格放八粒,第五格放十六粒……照这样放下去,每格比前一格多放一倍麦粒,直到把六十四个棋格放满就行了。”国王听了哈哈大笑,他觉得锡塔这个人真是有趣,放着金银财宝不要,反而提出这样一个“笨”要求,谷仓里的麦子多着呢,填完六十四个棋格实在是小意思。于是便传令粮食大臣:“答应锡塔的要求,现在就从粮库把麦子拉过来。”在场的每一个人都认为一小袋麦子就能填满棋盘上的十几个方格,一些人甚至忍不住笑了起来。麦子被拉来后,粮食大臣一粒一粒地填了起来。一粒、两粒、四粒、八粒……一开始,前面的几个方格很快就被填满,而此时还没有用完一小碗麦子。但是慢慢地,所用的麦子开始明显多了起来,三十二粒、六十四粒、一百二十八粒、二百五十六粒、五百一十二粒、一千零二十四粒……可不知从哪一刻起,喧闹的人们突然安静下来。因为往第16个方格上放米粒时,就需要拿出1公斤的大米,而到了第20格时,则需要满满一手推车的米。如此看来,国王根本无法提供足够的大米放在棋盘上的第64格上去。大臣们和国王都惊诧得张大了嘴:即使倾全国所有,也填不满下一个格子啊。原理:假设把第一个格子的一粒米写成2的0次方,第二个格子写成2的1次方,第三个格子写成2的2次方,那么第N个格子就可以写成2的N-1次方。国际象棋一共64个格子,到了第64个格子的时候,需要放的米粒数就是2的63次方,即9,223,372,036,854,780,000粒,这还只是这一个格子的容量,如果全部累计,则为18,446,744,073,709,600,000粒。如果1000粒米有一克重,那么折算一下,第64格就需要放9,223,372,036吨米。[1]

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