世界上第一个证明π是无理数的方法—高中生也能理解
[遇见数学创作小组]作者: 烂柯野人, 参考自 Mathologer 视频(跳转链接)
▌前言
是无理数，但极少有人知道怎么证明它。事实上，很多专业的数学学者也不了解具体的证明方法。究其原因，一是没必要、二是大多数证明过程都太专业且不直观。例如附二中由 伊万·尼文(Ivan Niven, 美国数学家) 给出的据称是最短的证明，需要大学数学知识才能看懂。
的连分数表示，然后证明了这个连分数是一个无理数。据信，这个也世界上第一个证明
是无理数的方法。此方法简洁易懂，即使从现在的观点来看，其思路也非常具有启发性。
▲ 约翰·海因里希·兰伯特(图行二左三)
▌准备工作
1）无理数和反证法
无理数是指不能写成分数的数。如果需要证明某个数是无理数，大多用反证法，即假设它可以表示成两个整数的比，然后推导出矛盾，以此证明假设不成立。
例如，如何证明
是无理数？可以先设
是有理数，于是有
即
两边同取n次幂
得到
这个等式显然不成立，因为其左边是一个偶数而右边是一个奇数，得到了矛盾的结果，因此
是有理数的假设不成立。附一中有几个练习，请试试。
2）连分数
连分数(Continued fraction)也叫繁分数，是形如下图的分数：
其中
、
、
，
、
、
为实数或复数。
连分数常用来逼近无理数，这也是最早研究连分数的动机，想将实数用“纯粹的数学”表示出来。连分数的相关理论在数学中有着重要作用，它是数论及线性方程研究中的一个重要工具，与概率论、级数递归、函数逼近、工程技术和计算机科学等也有联系。
连分数因大数学家欧拉而广为人知，欧拉证明了形如下图的、所有分子都是
、所有分母都是正整数的无限简单连分数均是无理数。
实际上，上图中的无限连分数等于
，其分母是
无限循环。欧拉利用连分数的这一无理性质证明了自然底数
是无理数，并且得到了
的无限连分数形式：
从第二个
开始，其分母是
、
、
、
、
。兰伯特是欧拉在柏林科学院的同事，熟悉欧拉对连分数的研究和成果，他因此冒出一个好主意：将
写成连分数形式。
3）麦克劳林公式
麦克劳林公式是泰勒公式在
点的特殊形式。若
在
处n阶连续可导，则下式成立：
其中
表示
阶导数且
。
因为
在
处具有任意阶导数，用麦克劳林公式在
处展开
，得到：
同样展开
得到：
▌证明过程
0）总体思路
第一步，兰伯特得到了
的连分数表示：
第二步，兰伯特证明了，当x是除0之外的有理数(
)时，
是无理数。所以
、
等都是无理数。
第三步，因为
，
不是无理数，所以
不能写为分数形式，即不是有理数，从而证明
是无理数。
1）第一步，得到
的连分数表示
将
和
的展开式代入
得到
从红色分数线分子上提出一个
，
由于
所以有
对红分数线上的分子加上红分数线的分母再减去红分数线的分母，得到
调整下顺序
去括号
计算红框内的对应项，得到
式中，蓝底色的两部分相同，因为
所以有
对红分数线上的分子统一提出
，得到
再次使用倒数技巧得到
再反复使用分子加减分母法，这次因为分母是
，为消去红分数线上的常数
，给分子加
倍的分母再减去
倍的分母得到
整理得到
如此反复计算下去，最终得到
可以通过对比
和连分数的图形验证这一结果。下图是取连分数第一层时的图形（蓝色）与
的图形（棕色）对比，两个图形在
点重合。
取连分数的第二层时，图形更加接近，如上图。
取越多的部分作图，就越逼近
的图形，证明这个连分数是正确的。
2）第二步，证明
为有理数时
是无理数
设
是有理数，则
可以写为
，其中
和
均为正整数，代入得到
化简右边连分数，给分子分母同乘
，得到
这个无限连分数，除了第一个分子是
，其它的分子都是
。分母则越来越大，也就是说，从某一处向后，分母会比分子大很多。现在来证明这个无限连分数是无理数。
根据
和
的不同，可能是
或
才比
大，这里不妨设
比
大
，那么从这一点向后，所有的分母都比分子至少大
。
由
得到
那么下图中蓝色后面所有部分是大于0小于1的
同样，如下图，从
开始，之后的所有部分也是大于
小于
的。
如果上两图中的蓝色部分或者绿色部分是无理数，那么整个连分数就是无理数。现在来证明从5v开始的蓝色无限连分数是无理数。令蓝色部分等于
，有
，即
。
所以得到：
再考虑
向后的部分，整理上面的式子得到下式
由于
、
、
、
都是整数，所以
也是一个整数，令其等于
。
因为
向后的部分也是大于
小于
的，所以又得到：
所以现在有：
再考虑
向后的部分又得到：
因为这是一个无限连分数，所以反复这样做可以得到一个无限递减数列：
由于数列中所有数都是正整数，而数列的大小是无限的，无论
有多大，始终都会在有限次递减后小于
，所以不存在这样的一个递减数列。
于是，之前从
开始的蓝色部分无限连分数是有理数的假设是错误的。于是得到
无理数
3）第三步，
是无理数
因为
而
不是无理数，根据原命题与逆否命题具有相同的真假性（如果
，那么应该得到一个无理数而不是
），得到
不是有理数，所以
不是有理数。
得证。
4）一张图总结
▌附一，练习
1）文中提及
为什么？为什么我只能推导出下面的不等式？
2）
是无理数吗？怎么证明？
3）
是无理数吗？怎么证明？
4）怎么推导出根号
等于下图中的连分数？
5）文中推导
的连分数时，给分子加上了一个分母又减去一个分母。其中无论是分子还是分母，都是很大的无穷级数，它们应该不支持交换律和结合律，但兰伯特为什么能对分子进行去括号、交换计算顺序等操作？
▌附二，最短证明(Ivan Niven的证明)
来源：遇见数学