36解析几何解法：葫芦画瓢-弦长问题

36：葫芦画瓢 - 弦长问题

弦长是指直线与圆、椭圆、双曲线、抛物线相交于不同的两点,形成的一条线段。一般由公式法求解,圆的弦长,以及过焦点的弦长可有特殊的公式。

设直线

:

与圆、椭圆、双曲线、抛物线相交于不同的两点

、

。注意只有判别式为正数时才有两个不同的交点。

1、通用公式:弦长

.

或者

(斜率不存在或斜率为

单独讨论)。

2、圆

弦长(几何法):利用几何性质,弦的中垂线过圆心,记圆心到直线的距离为

,半径为

,则弦长

。对于圆而言,这个公式应用最多。

3、过焦点的弦长(统一定义法):圆锥曲线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离。平面内到定点

(焦点)的距离与到定直线

(与焦点相应的准线)的距离的比为常数(离心率

)。过交点的垂线与圆锥曲线交于

、

,过

、

作准线的垂线,垂足为

、

,则

,这种情况在抛物线中的应用多一些。如

,

。注意一定要与图形结合,注意

、

前面符号。

4、特殊的弦:直线与坐标轴垂直,或直线过原点时,一般直接求出交点的坐标,再用坐标求弦长。

(1)(2020天津12)已知直线

和圆

相交于

,

两点。若

,则

的值为_________.

(2)(2019全国Ⅰ理19)已知抛物线

:

的焦点为

,斜率为

的直线

与

的交点为

,

,与

轴的交点为

.

(i)若

,求

的方程;

(ii)若

,求

.

答案：(1)

;(2)①

;②

解析:(1)因为圆心

到直线

的距离

,

由

可得

,解得半径

.

(2)设直线

:

,

,

.

①由题设得

,故

,由题设可得

.

由

,可得

,

得

,则

.

从而

,得

,所以

的方程为

,即

。

②由

可得

.

由

,可得

.由

得

,

所以

.从而

,故

,

.

解法一:代入

的方程得

,

.

故

.

解法二:

。

1:

平面直角坐标系

中,椭圆

的离心率为

,过椭圆右焦点

作两条互相垂直的弦

与

。当直线

的斜率为

时,

。

（1）求椭圆的方程;

（2）若

,求直线

的方程.

2:

(2019晋城一模) 已知抛物线

:

,斜率为

的直线

与抛物线

交于

,

两点,且线段

的中点坐标为

,其中

,直线

:

与抛物线

,交于

,

两点。

①证明:

;

②若直线

与圆

:

交于

,

两点,证明:

。