一类三角函数题的统一解法

在三角函数问题中,有一类已知f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的一个单调区间,以及一个对称中心和一条对称轴或两条对称轴或两个对称中心,求ω的最大值问题,它是各级各类考试的一个热点.它的解法很多,但掌握这类问题求解通法,对揭示问题的本质、提高解题速度都有着极其重要的意义.

解决此类问题的一般方法先由条件明确ω的取值情况,再将f(x)的单调区间用T表示,利用一般单调区间与已知单调区间的包含关系,列不等式组求解.

例1 (2016年全国高考题)已知函数

为f(x)的零点,

为f(x)的对称轴,且f(x)在区间

单调,则ω的最大值为( )

(A)11 (B)9 (C)7 (D)5

解 设f(x)的周期为T(T>0),由已知条件得

即

因为函数f(x)的单调区间可以表示为

所以

即

因该不等式组有解,因此

解得

结合T>0,m∈Z,知m=1,2,3,4.

由不等式组有解及

得

即

当m=4时,

即

与ω=2k+1(k∈N*)不符合,相应的ω不存在;当m=3时,

结合ω=2k+1(k∈N*),得ω=9.注意ω随m增大而增大,故得ωmax=9,选B.

例2 已知函数

为f(x)的导函数,

且f(x)在区间

内单调,则ω的最大值是( )

解 由

可知点

与直线

分别为f(x)的一个对称中心和一个对称轴.故

得

即

又函数f(x)的单调区间可表示为

所以

即

该不等式有解,故有

即m≤3.结合T>0,m∈Z,可知m=1,2,3.

由不等式组有解及

得

即

故当m=3时,6≤ω≤6,即ω=6,不满足

当m=2时,

即

结合

得

而ω随m增大而增大,故

选C.

例3 已知

为函数

的两条对称轴,且f(x)在区间

内单调,则ω的最大值是( )

解 设f(x)的周期为T(T>0),则

即

得

又因为函数f(x)的单调区间可表示为

依题意,得

即

因该不等式组有解,故

即m≤3.结合T>0,m∈Z,得m=1,2,3.

又由

得

由此知当m=3时,

不满足

当m=2时,

结合

得ω=8.因ω随m的值增大而增大,故ωmax=8.选B.

例4 已知函数

的两个对称中心分别为

和

在区间

单调,求ω的最大值.

解 设f(x)的周期为T>0,则

可得

从而