中考数学：截取法构造全等或相似三角形(二)

例：四边形ABCD是⊙O内接四边形，连接AC，BD

(1).如图，当AB=AC=BC，求证：BD=AD+CD

分析：在BD上截取点M，使DM=AD连接AM

∵△ABC为等边三角形

∴∠ADM=∠ACB=60°

∴△ADM为等边三角形

∴DM=AD

易证：△ABM≌△ACD

∴BM=CD

∴BD=BM+DM=AD+CD

(2).如图，若BC是⊙O的直径，且AB=AC，探究AD，BD，CD之间数量关系。

分析：由(1)问思路，构造∠MAD=∠BAC，作MA⊥AD，交BD于点M

∵△ABC为等腰直角三角形

∴∠ABC=∠ACB=45°

∴∠ADM=∠AMD=∠ACB=45°

∴△AMD为等腰直角三角形

∴DM=√2.AD

易证：△ABM≌△ACD

∴BM=CD

∴BD=BM+DM=CD+√2.AD。

(3).如图，若BC是⊙O的直径，且∠ABC=30°，探究AD，BD，CD之间数量关系。

分析：作MA⊥AD，交BD于点M

∵∠ABC=30°

∴∠ADM=∠ACB=60°，∠AMD=30°

∴Rt△AMD中：DM=2.AD

AB/AC=AM/AD=√3

易证：△ABM～△ACD

∴BM/CD=AB/AC=√3

∴BM=√3.CD

∴BD=BM+DM=√3.CD+2.AD。