重庆市第一中学高2021届第三次月考第20题：解三角形与平面向量

重庆·云师堂

要高考了，“临时抱佛脚”有之，“放飞自我”有之，“恣意妄为”有之，“浑然不顾”有之……缓解压力，使尽浑身解数。

高考有多恐怖？

你去了，就知道了。反正不是你想的那样，也不是别人所说的那样。能够描述的恐怖都不叫恐怖。我总是用道理说服自己，加上反应迟钝，所以从未感知到恐怖的垂青。只记得，“金戈铁马，气吞万里如虎”。

1  围观

一叶障目，抑或胸有成竹

第2问有意思，结构对称、形式优美——这便是一眼相中的原因。

解三角形结合平面向量，地方卷中司空见惯，全国卷中却鲜有涉及。地方卷的命题者或多或少会加入到全国卷的行列，所以你懂的。

这未免危言耸听，但“风雨多变幻，出门早看天”总是没错的。

2  套路

手足无措，抑或从容不迫

第1问，样子像余弦定理，所以不由自主地往上靠，手到擒来。

送分是个技术活，既不能明目张胆，也不能鬼鬼祟祟。前者凸显水准，后者检验人品，所以绕个弯便是柳暗花明。

第2问，化简目标，正弦定理代换为三角函数的有界性。需要注意的是，角B的限制不单只考虑角B，还要结合角C才能确保完备。

法2的思路来源于封闭三角形与三数和的平方。然后，同样利用正弦定理转化为三角函数的有界性，剩下的与法1并无二致。

上述方法看似高屋建瓴，实则大炮打蚊子，得不偿失。我写出来，无非是说明，这也是一种可能。

法3，直接利用数量积的定义，将目标转化为边角关系。接下来可从余弦定理或射影定理出发，化角为边。

射影定理亦称之为“第二余弦定理”，在计算中，往往一剑封喉。化简后，考虑临界值，恰好是两个极端——等边三角形和直角三角形，由此求得结果。

3  脑洞

浮光掠影，抑或醍醐灌顶

事实上，本题是一道典型的“定弦定角模型”。

如图，边BC的长度一致，角A的大小不变，则角A在单位圆O上运动。又三角形ABC为锐角三角形，则角A在劣弧A₁A₃上运动（不含端点）。当角A位于点A₁或A₃时，目标值最大；当角A位于弧A₁A₃的中点A₂时，目标值最小。

4  操作

形同陌路，抑或一见如故