一道圆锥曲线离心率问题的多种解法

【内容摘要】圆锥曲线的离心率是近年高考的一个热点,有关离心率的试题,究其原因,一是贯彻高考命题“以能力立意”的指导思想,离心率问题综合性较强,灵活多变,能较好反映考生对知识的熟练掌握和灵活运用的能力,能有效地反映考生对数学思想和方法的掌握程度;二是圆锥曲线是高中数学的重要内容,具有数学的实用性和美学价值,也是以后进一步学习的基础.本次广州一模的第8题就是考察椭圆离心率问题，得分率并不高，该类问题需要解决和突破，结合学生的问题以及自己的一些教学体会，本着将一类问题具有通性通法的原则，由易到难，层层递进，并配合适度变式，深层次挖掘题目隐含条件，最终实现解决一类问题，形成模式化解题方法。

【关键字】   离心率问题    模式化  解题

问题展示

离心率的范围求法方法挺多，让学生一一掌握难度不小，但根据通性通法原则，总结起来可以分三步来解决：

解题模板： 第一步   挖掘题目中的不等关系，

第二步  结合曲线的几何性质得到等式，

第三步  解不等式，确定离心率的范围.

下面我们来看看这道题目的解法：

方法一    由向量构建不等式来求解

此种解法将题目条件钝角转化为向量数量积的不等关系，计算量稍大，对计算能力要求较高。

方法二  由基本不等式构建不等关系来求解

方法二是利用余弦定理建立等式关系，利用基本不等式构建不等关系，从而求离心率范围。

方法三  由几何图形中的不等关系来求解

很明显，方法三充分利用图形的几何关系，建立不等关系，更加方便快捷。

总结：三种方法都是挖掘不等关系，建立a，b，c三者之间的不等式，最终求出离心率范围。

1.根据题设条件，借助a,b,c之间的关系，构造]a,c的不等关系，有时需要挖掘隐含条件，如最值等。

2.在a,c的关系式中除以a的合适次数，得到关于e的齐次不等式，解得离心率e的范围。

三 、检查与讨论

即使是相当好的学生，当他得到问题的解答，并且很干净利落地写下论证 后，就会合上书本，找点别的事来干干。这样做，他们就错过了解题的一个重要而有教益的方面。通过回顾所完成的解答，通过重新考虑与重新检查这个结果和得出这一结果的路子，学生们可以巩固他们的知识和发展他们解题的能力。 一个好的教师应该懂得并且传授给学生下述看法：没有任何问题是可以解决得十全十美的。总剩下些工作要做。经过充分的探讨与钻研，我们能够改进这个解答，而且在任何情况下，我们总能提高自己对这个解答的理解水平。

针对学生此类问题，做一些必要变式，加深理解，对方法进行检测，深化离心率范围的求法这一方法。

设计意图：更改题目条件，将​钝角这一条件改为具体的一个锐角和钝角，本文提供的几种方法仍然适用，让学生充分体会解决这类问题的一个固定模式和方法。