定边定角辅助圆模型解决面积最值问题

有关定边定角辅助圆模型的讲解再去昨天的有一篇文章里已经做了详细的讲解，对这个模型还不太熟悉的可以先去看昨天的文章，熟悉模型的特征、结构、适用条件及应用方法是解题的关键。

通过定边定角构造辅助圆解决线段最值问题在中考试卷及模考卷中经常出现，解决这类问题有固定的思路。

• 首先是去分析和寻找定边定角三角形，确定模型；

• 然后一般是构造三角形的外接圆，确定动点的运动轨迹；

• 最后再根据相关几何性质，确定最值点，经过计算即可。

先来看看题目：

题目分析：

这是一道几何综合探究题，第一问考查的是等高的面积关系，第二问考查的是定边定角辅助圆模型求三角形面积最值，第三问是综合应用解实际问题，求四边形面积的最值，是综合运用前两问的知识点和模型，将数学知识和模型与实际问题结合。

1.分析解答第一问：

第一问比较简单，因为ABCD是平行四边形，

看到平行四边形，立即联想到平行四边形的相关性质，

对边平行且相等，对角线互相平分，

这个题用的就是平行四边形的对边相互平行，

也就是AB∥CD，

那么△ABD和△ABC是同底等高三角形，

我们知道，同底等高三角形面积相等，

那么就可以得到△ABD的面积等于△ABC的面积，等于3.

第一问考查的就是同底等高三角形的面积关系及平行四边形的性质，解题的关键是分析得到两三角形是徒弟等高三角形。 

2.分析解答第二问：

先分析题目中的条件，

因为∠BAC=120°，所以可以求出∠DAC=60度，

又因为AD=AC，

所以可得△ADC为等边三角形，

那么可以得到∠D=60度，

因为B、A、D三点共线，

所以在△BCD中，∠BDC=60°，其底边BC=6，

△BCD是一个定边定角三角形，

符合定边定角辅助圆模型的特征，

做 △BCD的外接圆，如下图，可以确定点D的运动轨迹，点D在外接圆的圆弧上运动，

要求△BCD面积的最大值，因为BC=6是确定的，

接下来只需要分析，当点D运动到何处时，点D到BC的距离最大，计算初中最大距离，也就是三角形BCD中BC边上的高的最大值，再计算出此时的面积即可。

利用弧的中点到弦的中点的距离最大，即D为弧BC的中点，E为弦BC的中点时，点D到BC的距离最大。

发现此时△BCD是等边三角形，利用边长BC=6，算出其面积即可，也就是△BCD面积的最大值。

第二问考查的是定边定角辅助圆模型的应用，解题额关键是找到定边定角三角形，作出辅助圆，确定动点的轨迹，再根据圆的性质确定足最大值点，最后计算出面积的最值即可。 

3.分析解答第三问：

第三问是是建立在前两问的基础之上，是前面的综合，

在前面分别用到了同底等高三角形的面积相等和定边定角辅助圆模型求三角形面积最值，那么在第三问的分析和思考时，也需要向这两方面去考虑，必须要联系前两问去分析、思考和解答，这是几何综合探究题的解题思路。

第三问给的是梯形，求梯形的面积，但相关的数据条件较少，且都不能直接用，

已知梯形的一条对角线长度是500米，另一条对角线与下底的夹角是30度，这两个条件看起来毫无关系，如何结合起来是解题的关键。

结合前两问肯定需要进行转化，需要将梯形转化一个等面积的三角形，并且还是一个定边定角的三角形，如果构造出符合条件的三角形是解题的关键，该如何来构造呢？

通过做辅助线转化，准确作出辅助线是解题的关键，如上图所示，

延长BC，在其延长线上取一点E，满足CE=AD，得到平行四边形ACED，

梯形ABCD的面积顺利转化为△BED的面积，

且可以得到△BED是一个定边定角三角形。

做△BED的外接圆，再根据圆的相关性质求其面积的最大值即可。

可以记住一个结论：定边定角三角形中，当这个三角形为等腰三角形时，面积最大，当然如果定角是60°，等边三角形时，面积最大。

第三问作出辅助线，构造一个与四边形面积相等的定边定角三角形是解题的关键，转化和构造后，根据已知条件结合圆的性质计算其面积即可。

总结：

这是一道几何综合探究题，涉及到众多的知识点和考点及模型：

考查到同底等高三角形的面积关系，这个比较简答，利用平行线间距离相等进行转化即可；

定边定角辅助圆模型，关键是能找到或构造出符合条件的定边定角三角形，在第二问中，三角形已定，只需分析即可，第三问中需要结合条件去构造，有一定的难度；

除此之外还涉及到圆的相关性质及最值模型，等腰三角形、等边三角形、直角三角形的相关知识点。