2020中考数学几何探究题

分析：

（1）根据△ABC和△ADE相似，可以得到AD：AB=AE：AC，同时∠BAC=∠DAE，那么同时减去∠DAC，可得∠BAD=∠CAE，加上AD：AE=AB：AC，可得△ABD∽△ACE；

（2）根据条件可知△ABC和△ADE都是有30°的直角三角形，根据刚才上一小题的结论可知，如果连接CE，

可得△ABD∽△ACE，则AE：CE=AD：BD=√3，

而在Rt△ADE中，AD：AE=√3

所以可得AD：CE=3

而题中要的是DF：CF，所以想办法转换到相似比例上，

而根据刚才的相似可知∠ACE=∠B=30°

再结合对顶角∠AFD=∠EFC

那么△AFD∽△EFC

所以DF：FC=AD：CE=3；

（3）两个30°角，一个90°角，但是都不挨着，就算勾股定理好像和AB与AC也无关，那么已知线段用不上，只能比较一下条件看看有没有什么线索

根据AB和AC的长度可知AB：AC=2：√3

而BC和BD也是这个比例，但是能搞出相似吗？

不行，线段不在一个三角形中

再看题中要求的是AD，这位置挺扯淡的，

AD能结合的已知条件就一个∠BAD=30°，有30°还能想想凑一个直角三角形，所以要不我们将AD放进直角三角形试试

30°角已经有了，那么是过D作AD的垂线还是做AB的垂线呢？

这个还真得好好考虑一下

如果作AB的垂线，那么点D处多出一个60°角，除了能得到直角三角形的三边关系，好像并无大用

那么如果做AD的垂线，就能在D处多出一个90°角，

题上已经有一个∠BDC=90°了

现在就会有两个90°，而且共顶点，而且两个90°角还都在有一个角是30°的三角形中，这不就类似于旋转吗

甭说了，赶紧过D做AD的垂线

这样一来，△ADE和△BDC就如同绕D旋转，

而且两个三角形形状相同，所以相似，

那么可得AD：BD=DE：CD

然后呢？

是不是忘了点什么？

有旋转不是有新的全等或相似吗？

两个三角形中取对应边组成新三角形，所以连接CE

那么根据∠ADB和∠EDC都是90°+∠BDE，

所以△ABD∽△ECD

那么AB：CE=BD：CD=√3:1

所以CE=4√3/3

但是，要求出AD，必须得有AE或者DE长度才行

现在已知的还没用上的条件有AC和刚求出的CE，这俩看着是不是有点像直角三角形的两条边？

∠DEC=∠BAD=30°，∠AED=60°

所以∠AEC=90°，牛逼啦

那么可得AE长度2√5/√3

最后AD=AEcos30°=√5；