九年级数学：高难度相似三角形题目

今天这道题是咱们公众号一位粉丝提供，非常感谢，一大早就发到后台了，快中午的时候才登录公众号看到，题目有难度，不过暂时人教和北师的都没学到相似，所以不一定每位同学都能看懂。

首先看到题目上的条件，三条线段相等，然后还有三角形的内心，按道理说是学完圆和相似之后才有能力解这道题。M是中点，条件很少，然后问题是找MI和CD的数量关系和位置关系，数量关系不好下定论，但是位置关系闭着眼睛都可以确定是垂直。

好，那么这道题究竟该从何处入手呢？

三角形内心，这个条件一定要紧紧抓住，三条角平分线的交点，

然后AB=BD，AB=AC，

也就是说，点I在∠ABD和∠BAC的角平分线上，那么要有MI和CD的数量关系，肯定不像是相等，那么只能是倍数关系了，所以很可能要用相似的，那么位置关系肯定要将两个线段扯在一起才能证明。

那么我们先补充一下图形，

如上图，辅助线有点多，连接BI并延长交AD于点E，连接AI并延长交BC于点F，

延长MI和DC使其相交于点H，连接DI并延长使IG=DI，并连接AG、CG、BG。

∵AB=BD，BE为角平分线，

所以ID=IA，且很容易得到∠BDI=∠BAI，

又∠BAI=∠CAI，所以∠BDI=∠CAI，

忘了标注AC和DG的交点了，我们假设为点O吧，

∠DOC=∠AOI，

所以∠AID=∠DGA=90°，

即AI⊥DG，又DI=IG，

所以AD=AG，

那么我们就知道了D、G关于AF对称，B、C关于AF对称，

所以容易得到CG=BD=AB=2AM，

同时我们知道AI=DI，且AI⊥DI，那么△ADI为等腰直角，

所以DG=2AI，

我们可以知道△ADB≌△GAC，

∴∠AGC=∠DAB，

∠BAF=∠DAB-45°，

∠DGC=∠DAB-45°，

所以∠BAF=∠DGC，

同时CG：AM=DG：AI=2：1，

所以△AMI∽△GCD，

所以CD=2MI，

同时∠GDC=∠AIM，

而∠AIM和∠FIH为对顶角，所以相等，

所以∠GDC=∠FIH，

由于∠FIH+∠DIH=90°，

所以∠GDC+∠DIH=90°，

所以∠MHD=90°，

即MI⊥CD。

到这里，整道题就证明完了，过程可能省略了少许，不过重要的都给大家列出来了，如果学过相似了，那么这道题绝对是可以看懂的。暂时没想到其他方法，用搜题软件也没搜到。按理说这种类型属于竞赛题，一般的考试是很难遇到的。